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Forum "Algebra" - Untergruppemn u. Normalteiler
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Untergruppemn u. Normalteiler: Korrektur/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Mo 01.06.2015
Autor: riju

Aufgabe
(G, [mm] \circ) [/mm] ist eine Gruppe. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist U [mm] \cup [/mm] V eine Untergruppe von (G, [mm] \circ). [/mm]
b) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist U [mm] \cup [/mm] V ein Normalteiler von (G, [mm] \circ). [/mm]
c) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist UV eine Untergruppe von (G, [mm] \circ). [/mm]
d) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist UV ein Normalteiler von (G, [mm] \circ). [/mm]
e) Ist U eine Untergruppe von (G, [mm] \circ) [/mm] und V eine Untergruppe von (U, [mm] \circ), [/mm] so ist V eine Untergruppe von [mm] (G,\circ). [/mm]
f) Ist U ein Normalteiler von (G, [mm] \circ) [/mm] und V ein Normalteiler von (U, [mm] \circ), [/mm] so ist V ein Normalteiler von (G, [mm] \circ). [/mm]

Also meine Vorschläge:
a) Hier habe ich ein Gegenbeispiel:
Gruppe: [mm] \IZ_{6} [/mm]
Untergruppen: [mm] U_{0}=\{0\}, U_{1}=\{0,1,2,3,4,5\}, U_{2}=\{0,2,4\}, U_{3}=\{0,3\} [/mm]
[mm] U_{2} \cup U_{3} =\{0,2,3,4\} [/mm] und das ist keine Untergruppe von [mm] \IZ_{6}. [/mm]

b) hier bräuchte ich einen Tipp

c) [mm] (UV) (UV)^{-1}=U V V^{-1} U^{-1} \subset U V U^{-1} = V U U^{-1} \subset VU = UV [/mm] somit ist UV eine Untergruppe

d) [mm] a UV a^{-1}= a U a^{-1} a V a^{-1} \subset UV [/mm] , daher Normalteiler

e) hier bräuchte ich auch einen Tipp

f) hier bräuchte ich ebenfalls einen Tipp

Vielen Dank
riju

        
Bezug
Untergruppemn u. Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mo 01.06.2015
Autor: hippias


> (G, [mm]\circ)[/mm] ist eine Gruppe. Beweisen oder widerlegen Sie:
>  a) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist U [mm]\cup[/mm]
> V eine Untergruppe von (G, [mm]\circ).[/mm]
>  b) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist U [mm]\cup[/mm]
> V ein Normalteiler von (G, [mm]\circ).[/mm]
>  c) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist UV
> eine Untergruppe von (G, [mm]\circ).[/mm]
>  d) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist UV ein
> Normalteiler von (G, [mm]\circ).[/mm]
>  e) Ist U eine Untergruppe von (G, [mm]\circ)[/mm] und V eine
> Untergruppe von (U, [mm]\circ),[/mm] so ist V eine Untergruppe von
> [mm](G,\circ).[/mm]
>  f) Ist U ein Normalteiler von (G, [mm]\circ)[/mm] und V ein
> Normalteiler von (U, [mm]\circ),[/mm] so ist V ein Normalteiler von
> (G, [mm]\circ).[/mm]
>  Also meine Vorschläge:
>  a) Hier habe ich ein Gegenbeispiel:
>  Gruppe: [mm]\IZ_{6}[/mm]
>  Untergruppen: [mm]U_{0}=\{0\}, U_{1}=\{0,1,2,3,4,5\}, U_{2}=\{0,2,4\}, U_{3}=\{0,3\}[/mm]
>  
> [mm]U_{2} \cup U_{3} =\{0,2,3,4\}[/mm] und das ist keine Untergruppe
> von [mm]\IZ_{6}.[/mm]

Richtig.

>  
> b) hier bräuchte ich einen Tipp

Beachte, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe Normalteiler ist. Nun siehe a)

>  
> c) [mm](UV) (UV)^{-1}=U V V^{-1} U^{-1} \subset U V U^{-1} = V U U^{-1} \subset VU = UV[/mm]
> somit ist UV eine Untergruppe

Begruende bitte den Schritt $U V [mm] U^{-1} [/mm] = V U [mm] U^{-1}$. [/mm]

>  
> d) [mm]a UV a^{-1}= a U a^{-1} a V a^{-1} \subset UV[/mm] , daher
> Normalteiler

Mal angenommen c) gilt nicht: Weshalb ist ueberhaupt $UV$ Untergruppe von $G$?

>  
> e) hier bräuchte ich auch einen Tipp

Untersuche direkt das Untergruppenkriterium.

>  
> f) hier bräuchte ich ebenfalls einen Tipp

Untersuche ebenso das Normalteilerkriterium.

>  
> Vielen Dank
> riju


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