Ungleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien r,n [mm] \in \IN. [/mm] Dann ist [mm] (1+|x|)^{2r}<(2n+2)^{r}(1+x_{1}^{2r}+...+x_{n}^{2r}), [/mm]
mit [mm] |x|=(x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2})^{1/2} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Ungleichung nicht weiter. Ich habe es schon mit Induktion versucht und binomischem Lehrsatz. Sämtliche Abschätzungen sind zu grob, die ich mache, oder es wird alles viel zu unübersichtlich wegen den Potenzen.
Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp.
Vielen Dank,
Tobacco_Pouch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 06.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Tobacco_Pouch,
> Seien r,n [mm]\in \IN.[/mm] Dann ist
> [mm](1+|x|)^{2r}<(2n+2)^{r}(1+x_{1}^{2r}+...+x_{n}^{2r}),[/mm]
> mit [mm]|x|=(x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2})^{1/2}[/mm]
>
> Hallo,
> ich komme bei dieser Ungleichung nicht weiter. Ich habe es
> schon mit Induktion versucht und binomischem Lehrsatz.
Ich wuerd eher das ![[]](/images/popup.gif) Multinomialtheorem verwenden.
Ich weiss nicht genau wie es damit geht, aber als Einfuehrung eine andere Abschaetzung: es gilt [mm] $1^{e_0} \cdot |x_1|^{e_1} \cdots |x_n|^{e_n} \le [/mm] (1 + [mm] |x_1|^r [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] |x_n|^r)$ [/mm] falls [mm] $e_0 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] e_n \le [/mm] r$ gilt (schaetze alle Faktoren durch [mm] $\max\{ 1, |x_1|, \dots, |x_n| \}$ [/mm] ab).
Damit bekommst du $(1 + [mm] |x_1|^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] |x_n|^2)^r \le \sum_{\alpha \in \IN^{n+1} \atop |\alpha| = r} 1^{\alpha_0} |x_1|^{2 \alpha_1} \cdots |x_n|^{2 \alpha_n} \le \biggl( \sum_{\alpha \in \IN^{n+1} \atop |\alpha| = r} [/mm] 1 [mm] \biggr) \cdot 1^{\alpha_0} |x_1^2|^{\alpha_1} \cdots |x_n^2|^{\alpha_n} \le [/mm] (n + [mm] 1)^r [/mm] (1 + [mm] x_1^{2r} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] x_n^{2r})$. [/mm] Das hat doch schonmal eine gewisse Aehnlichkeit mit dem, was du heraushaben willst.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen vielen Dank für Deine Antwort. Wegen [mm] 0\le(1-|x|)^{2}\gdw 2|x|\le1+x^{2} [/mm] ist dann
[mm] (1+|x|)^{2r}=(1+2|x|+x^{2})^{r}\le (2(1+x^{2}))^{r}.
[/mm]
Zusammen mit Deiner Ungleichung ist es also genau das, was ich brauche.
Vielen Dank, allein wäre ich nie drauf gekommen :)
Gruß Tobacco_Pouch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Do 07.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Tobacco_Pouch,
> vielen vielen Dank für Deine Antwort. Wegen
> [mm]0\le(1-|x|)^{2}\gdw 2|x|\le1+x^{2}[/mm] ist dann
> [mm](1+|x|)^{2r}=(1+2|x|+x^{2})^{r}\le (2(1+x^{2}))^{r}.[/mm]
ah, das ist der Teil der mir wiederum nicht eingefallen ist 
> Zusammen mit Deiner Ungleichung ist es also genau das, was
> ich brauche.
> Vielen Dank, allein wäre ich nie drauf gekommen :)
Bitte :) Freut mich dass es geklappt hat!
LG Felix
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