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"Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig vorgegeben. Dann ist die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] absolut konvergent.
Fuer x = 0 is das trivial. Fuer x [mm] \not= [/mm] 0 haben wir [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{x^n}{n!} \not= [/mm] 0 fuer jedes n und
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{x+1}| \to [/mm] 0 fuer n [mm] \to \infty."
[/mm]
Koennt ihr mir mal eben auf die Spruenge helfen. Wieso gilt:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{x+1}|
[/mm]
???
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Hallo Martin,
das ist ja die Exponentialreihe, also ne Potenzreihe [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] .
Da bieten sich v.a. 2 Kriterien an, um den Konvergenzradius zu bestimmen.
Zum einen das Kriterium von Cauchy-Hadamard:
Bestimme [mm] $r:=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius der (Potenz-)Reihe [mm] $R:=\frac{1}{r}$, [/mm]
wobei man [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$ [/mm] setzt
Das ist also ans Wurzelkriterium angelehnt
Zum anderen das Kriterium von Euler (ans QK angelehnt)
Bestimme [mm] $r:=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R:=\frac{1}{r}$ [/mm] mit denselben Festlegungen wie oben
In beiden Fällen konvergiert die Potenzreihe dann für |x|<R und divergiert für |x|>R
Also hier mit Euler:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n!(n+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$
[/mm]
Also Konvergenzradius [mm] \frac{1}{0}=\infty
[/mm]
Also konvergiert die Reihe für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ja 
Aber ich wollte doch wissen, wie man kommt auf
$ [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x}{x+1}| [/mm] $
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Hi,
igendwie gar nicht, weil dein [mm] a_n=\frac{1}{n!} [/mm] ist.
Man kommt höchstens auf [mm] \left|\frac{x}{n+1}\right|, [/mm] wenn man das "normale " QK ansetzt mit - hast du vllt. nen Tippfehler reingebaut?
[mm] \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{x^n}\right|=\left|\frac{x}{n+1}\right|\underbrace{\to}_{n\to\infty} [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Hi,
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> igendwie gar nicht, weil dein [mm]a_n=\frac{1}{n!}[/mm] ist.
Nein, fuer [mm] a_n [/mm] gilt
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{x^n}{n!}
[/mm]
>
> Man kommt höchstens auf [mm]\left|\frac{x}{n+1}\right|,[/mm] wenn
> man das "normale " QK ansetzt mit - hast du vllt. nen
> Tippfehler reingebaut?
Nein, genau so stehts im Skript, wirklich
>
> [mm]\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{x^n}\right|=\left|\frac{x}{n+1}\right|\underbrace{\to}_{n\to\infty}[/mm]
> 0 für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hi,
dann ist da wohl ein Fehler im Skript,
wenn [mm] a_n=\frac{x^n}{n!} [/mm] ist, dann ist [mm] a_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Also [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{x^n}\right|=\left|\frac{x}{n+1}\right|
[/mm]
Daran gibt's nix zu rütteln, oder?
Da scheint also ein Tippfehler im Skript zu sein....
LG
schachuzipus
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