Umkehrfunktion von 2x/sin(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
f: (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] mit: f(x) = [mm] \bruch{2x}{sin(x)}.
[/mm]
Zu zeigen:
(1) f umkehrbar.
(2) Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
(3) [mm] f^{-1}'(\pi). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(1), (2) habe ich gelöst (s.u.), bei (3) stecke ich fest.
Lösungsansatz:
(1)
f'(x) = [mm] \bruch{2sin(x) - 2x cos(x)}{sin^{2}(x)}
[/mm]
Def:
g : (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] mit: g(x) = 2sin(x) - 2x cos(x).
g'(x) = 2sin(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) streng monoton wachsend und es gilt g(0) = 0, also g(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend, also bijektiv und somit umkehrbar.
(2)
f: (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] also [mm] f^{-1}: \IR \to [/mm] (0, [mm] \pi).
[/mm]
(3)
Idee: y = [mm] \bruch{2x}{sin(x)} [/mm] nach x auflösen, ableiten, [mm] \pi [/mm] einsetzen.
Das habe ich nicht geschafft.
Ist es überhaupt nötig, den Term der Ableitung zu bestimmen?
Besteht ein Zusammenhang zwischen f' und [mm] f^{-1}'?
[/mm]
vielen Dank für jede Hilfe,
Gruß und guten Rutsch!
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> Gegeben:
> f: (0, [mm]\pi) \to \IR,[/mm] mit: f(x) = [mm]\bruch{2x}{sin(x)}.[/mm]
> (3) [mm]f^{-1}'(\pi).[/mm]
> (3)
> Idee: y = [mm]\bruch{2x}{sin(x)}[/mm] nach x auflösen, ableiten,
> [mm]\pi[/mm] einsetzen.
> Das habe ich nicht geschafft.
> Ist es überhaupt nötig, den Term der Ableitung zu
> bestimmen?
> Besteht ein Zusammenhang zwischen f' und [mm]f^{-1}'?[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Zusammenhang ist die  Umkehrregel.
Die Hauptarbeit ist es zu überlegen, für welches x gilt [mm] y=\pi=\bruch{2x}{sin(x)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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