Umkehraufgabe Nr. 2 < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt [mm] W(\bruch{1}{2} [/mm] / 0) einen Wendepunkt. Die Wendetangente besitzt die Steigung [mm] -\bruch{9}{2}. [/mm] DIe Steigung der Kurve an der Stelle x=2 ist 9
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d und geben Sie die Funktionsgleichung an!
b) Berechnen Sie die Koordinaten der weiteren Nullstellen und der Extremwerte.
Geben Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt und an der Stelle x=2 an. |
Hallo,
wie im anderen Thread noch mal eine Frage zu einer Umkehraufgabe.
Zwar ist mir die Herangehensweise nun schon etwas klarer, hier bin ich mir jedoch unsicher, da ja nur ein Punkt gegeben ist und sonst nur zwei Steigungen.
Wie rechne ich damit weiter?
[mm] y=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] y'=3ax^2+2bx+c
[/mm]
y''=6ax+2b
Zunächst habe ich mich dem Wendepunkt angenommen:
Dieser erfüllt ja auf jeden Fall die Ausgangsgleichung [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] da er ja auf dem Graphen liegt, also gilt für [mm] W(\bruch{1}{2} [/mm] / 0)
[mm] \bruch{1}{8}a+\bruch{1}{4}b+\bruch{1}{2}c+d=0
[/mm]
Und da man den Wendepunkt mit der zweiten Ableitung errechnet, müsste auch gelten y'=0, also:
[mm] 6*a*\bruch{1}{2}+2b=0
[/mm]
So weit richtig?
Nur was mache ich jetzt mit den beiden Steigungen? Im Endeffekt suche ich doch zuerst mal noch zwei weitere Funktionsgleichungen, damit ich a, b, c, d ausrechnen kann, oder?
Vielen Dank für die Hilfe ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt
> [mm]W(\bruch{1}{2}[/mm] / 0) einen Wendepunkt. Die Wendetangente
> besitzt die Steigung [mm]-\bruch{9}{2}.[/mm] DIe Steigung der Kurve
> an der Stelle x=2 ist 9
>
> a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d und geben Sie
> die Funktionsgleichung an!
>
> b) Berechnen Sie die Koordinaten der weiteren Nullstellen
> und der Extremwerte.
> Geben Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt und an
> der Stelle x=2 an.
> Hallo,
>
> wie im anderen Thread noch mal eine Frage zu einer
> Umkehraufgabe.
> Zwar ist mir die Herangehensweise nun schon etwas klarer,
> hier bin ich mir jedoch unsicher, da ja nur ein Punkt
> gegeben ist und sonst nur zwei Steigungen.
> Wie rechne ich damit weiter?
>
> [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> [mm]y'=3ax^2+2bx+c[/mm]
> y''=6ax+2b
>
> Zunächst habe ich mich dem Wendepunkt angenommen:
>
> Dieser erfüllt ja auf jeden Fall die Ausgangsgleichung
> [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] da er ja auf dem Graphen liegt, also gilt
> für [mm]W(\bruch{1}{2}[/mm] / 0)
>
> [mm]\bruch{1}{8}a+\bruch{1}{4}b+\bruch{1}{2}c+d=0[/mm]
>
> Und da man den Wendepunkt mit der zweiten Ableitung
> errechnet, müsste auch gelten y'=0, also:
>
> [mm]6*a*\bruch{1}{2}+2b=0[/mm]
>
> So weit richtig?
Ja
>
> Nur was mache ich jetzt mit den beiden Steigungen?
" ................ Die Wendetangente besitzt die Steigung $ [mm] -\bruch{9}{2}. [/mm] $" liefert:
f'(1/2)=-9/2
" ..................DIe Steigung der Kurve an der Stelle x=2 ist 9 " liefert
f'(2)=9
FRED
> Im
> Endeffekt suche ich doch zuerst mal noch zwei weitere
> Funktionsgleichungen, damit ich a, b, c, d ausrechnen kann,
> oder?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke.
Ich habe nun vier Gleichungen:
I) [mm] 0=\bruch{1}{8}a+\bruch{1}{4}b+\bruch{1}{2}c+d
[/mm]
II) [mm] 0=6*a*\bruch{1}{2}+2*b \gdw [/mm] 0=3*a+2*b
III) [mm] -\bruch{9}{2}=3*a*\bruch{1}{4}+2*b*\bruch{1}{2}+c \gdw -\bruch{9}{2}=\bruch{3}{4}a+1b+1c
[/mm]
IV) 9=3*a*4+2*b*2+c [mm] \gdw [/mm] -9=12a+4b+1c
Nur wo fange ich jetzt am sinnvollsten an, wenn ich das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwende?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Gl vereinfachen, indem du mit dem jeweils größten nenner bzw dem hauptnenner multiplizierst.
dann alle so, dass das absolut Glied (das ohne unbekannte) rechts steht
und dann ist die Reihenfolge egal, wenn du Gauss verwendest.
hier vielleicht am einfachsten mit II anfangen,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Also bei mir will das alles irgendwie nicht wirklich funktionieren.
Wenn ich die Gleichungen vereinfache, erhalte ich:
I) 1a+2b+4c=0
II) 3a+2b=0
III) 3a+4b+c=-18
IV) 12a+4b+c=-9
Um a zu bekommen habe ich:
IV) 12a+4b+c=-9 /*(-1) genommen und bekomme
IV) -12a-4b-c=9 und addiere
III) 3a+4b+c=-18 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-1
Beim Rest blicke ich nicht durch.
Darf ich eigentlich auch Gleichungen, die aus der Addition zweier anderer Gleichungen entstanden sind, erneut mit einer der o.g. Gleichungen (I-IV) addieren, oder geht das nur jeweils einmal? Also immer nur die Ausgangsgleichungen untereinander?
Besten Dank!
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
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> Also bei mir will das alles irgendwie nicht wirklich
> funktionieren.
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> Wenn ich die Gleichungen vereinfache, erhalte ich:
>
> I) 1a+2b+4c=0
> II) 3a+2b=0
> III) 3a+4b+c=-18
> IV) 12a+4b+c=-9
Gleichung IV muß doch so lauten: [mm]12a+4b+c=\blue{+}9[/mm]
Gleichung III muß doch so lauten: [mm]3a+4b+\red{4}c=-18[/mm]
Bei Gleichung I hast Du einen Summanden vergessen:
[mm]1a+2b+4c\red{+8d}=0[/mm]
>
> Um a zu bekommen habe ich:
>
> IV) 12a+4b+c=-9 /*(-1) genommen und bekomme
>
> IV) -12a-4b-c=9 und addiere
> III) 3a+4b+c=-18 [mm]\Rightarrow[/mm] a=-1
>
> Beim Rest blicke ich nicht durch.
> Darf ich eigentlich auch Gleichungen, die aus der Addition
> zweier anderer Gleichungen entstanden sind, erneut mit
> einer der o.g. Gleichungen (I-IV) addieren, oder geht das
> nur jeweils einmal? Also immer nur die Ausgangsgleichungen
> untereinander?
>
> Besten Dank!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Gut, danke.
Nur irgendwie eliminiere ich nichts wenn ich die Gleichungen hin und her addiere.
Mir bleiben immer 2 Variable im Term. Z.B.:
Wenn ich Gl. III mit (-1) multipliziere und mit II schneide, dann:
III) -3a-4b-4c=18
II) 3a+2b
-2b-4c=18
Umgekehrt bei III mit II wenn ich II mit (-2) multipliziere, dann:
II) -6a-4b=0
III) 3a+4b+4c=0
-3a +4c=0
Also irgendwie komm ich da nicht weiter ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo drahmas,
> Gut, danke.
> Nur irgendwie eliminiere ich nichts wenn ich die
> Gleichungen hin und her addiere.
> Mir bleiben immer 2 Variable im Term. Z.B.:
>
> Wenn ich Gl. III mit (-1) multipliziere und mit II
> schneide, dann:
>
> III) -3a-4b-4c=18
> II) 3a+2b
> -2b-4c=18
>
> Umgekehrt bei III mit II wenn ich II mit (-2)
> multipliziere, dann:
>
> II) -6a-4b=0
> III) 3a+4b+4c=0
> -3a +4c=0
>
> Also irgendwie komm ich da nicht weiter
In der Gleichung I kommen die Variaben a,b,c,d vor.
In den Gleichungen III und IV kommen die Variablen a,b,c vor.
In der Gleichung II kommen nur die Variablen a,b vor.
Versuche nun zuerst die Variable c zu elimieren.
Das heisst, addiere ein geignetes Vielfaches
der Gleichung IV zur Gleichung III, so daß das
Ergebnis [mm]... \ + 0*c = \ ...[/mm] lautet.
Dann hast Du zwei Gleichungen, in denen nur
noch die Varablen a und b vorkommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke, jetzt hab ichs :) ...
[mm] y=2x^3-3x^2-3x+2
[/mm]
Gibt es da irgendeinen Trick, wie man am besten erkennt mit welcher Gleichung man Anfängt, etc.?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Okay, danke, jetzt hab ichs :) ...
>
> [mm]y=2x^3-3x^2-3x+2[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gibt es da irgendeinen Trick, wie man am besten erkennt mit
> welcher Gleichung man Anfängt, etc.?
Angefangen wird mit der Gleichung,
die die meisten Unbekannten beinhaltet.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke!
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