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Trigonometrischer Beweis: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Do 06.05.2010
Autor: Linalina

Aufgabe
Zeige dass
1+cos 4x = [mm] 2cos^{2}2x [/mm]

ich hab versucht die rechte Seite umzuformen und komme leider nicht weiter. Ich habe so angefangen:
[mm] 2cos^{2}2x [/mm] = [mm] 2(1-sin^{2}x)^{2} [/mm]

kann mir jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Trigonometrischer Beweis: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Do 06.05.2010
Autor: karma

Hallo und guten Tag!

> Zeige dass
>  1+cos 4x = [mm]2cos^{2}2x[/mm]


$1+cos( 4x )= [mm] 2\cdot cos^{2}(2x)$: [/mm]
die linke Seite hat "die doppelte Frequenz" ($4x$) der rechten ($2x$) und die Werte von $1+cos( 4x )$ liegen zwischen $0$ und $2$.

Skizziere doch einmal [mm] $cos^2(y)$ [/mm] für [mm] $y\varepsilon [0;2\pi$]$; [/mm]
in welchem Bereich liegen die Funktionswerte,
welche Frequenz hat der resultierende Graph?

Schönen Gruß
Karsten


[]cos(x)*cos(x)

PS: Der Schlüssel zur Herleitung liegt im sogenannten
"Additionstheorem des Kosinus": $cos(x  + y ) = [mm] cos(x)\cdot [/mm] cos( y)  - [mm] sin(x)\cdot [/mm] sin(y)$
sowie der Identität [mm] $sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$ [/mm]
und damit (nimm $x$ für $y$):  
$cos(x  + x ) = [mm] cos(x)\cdot [/mm] cos( x)  - [mm] sin(x)\cdot [/mm] sin(x) = [mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=cos(2\cdot [/mm] x)$.




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