Transformationsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 23.04.2007 | | Autor: | BotzII |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir betrachten die [mm] \IR [/mm] -Vektorräume [mm] \IR [/mm] ² und [mm] \IR [/mm] ³ und in diesen die Basen B := {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} bzw. C:={(0,1),(1,0)}. Eine lineare Abbildung Psi Hom(R³, R²) sei bezüglich dieser Basis durch die Matrix
Psi unten B oben C := 1 2 3
4 5 6
()
beschrieben.
(a) Bestimmen Sie die Matrix, welche Psi bezüglich der Standardbasen K2 von R² und K3 von R³ beschreibt.
(b) Weiterhin sei ein vektro v R³ durch [v]untenK3 := (7,8,9) gegeben. bestimmen Sie das Bild [Psi(v)]untenC
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
Wie geht das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Wir betrachten die [mm]\IR[/mm] -Vektorräume [mm]\IR[/mm] ² und [mm]\IR[/mm] ³ und in
> diesen die Basen B := {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} bzw.
> C:={(0,1),(1,0)}. Eine lineare Abbildung [mm] \Psi \in [/mm] Hom(R³, R²)
> sei bezüglich dieser Basis durch die Matrix
>
> [mm] \Psi_B^C :=\pmat{ 1 & 2&3 \\ 4 & 5 &6} [/mm]
> beschrieben.
> (a) Bestimmen Sie die Matrix, welche [mm] \Psi [/mm] bezüglich der
> Standardbasen [mm] K_2 [/mm] von R² und [mm] K_3 [/mm] von R³ beschreibt.
> Wie geht das?
Hallo,
um ein bißchen Hilfe zur Selbsthilfe zu geben, laß uns schauen, was es bedeutet, daß die Abbildung durch
[mm] \Psi_B^C :=\pmat{ 1 & 2&3 \\ 4 & 5 &6} [/mm] beschrieben wird.
Das sagt uns
[mm] \Psi(\vektor{0 \\ 1\\1})=1*\vektor{0 \\ 1}+4*\vektor{1\\ 0}
[/mm]
[mm] \Psi(\vektor{1 \\ 0\\1})=2*\vektor{0 \\ 1}+5*\vektor{1\\ 0}
[/mm]
[mm] \Psi(\vektor{1 \\ 1\\0})=3*\vektor{0 \\ 1}+6*\vektor{1\\ 0}
[/mm]
Sollst Du nun die Matrix bzgl. der Standardbasen bestimmen, so mußt Du herausfinden, welches die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] sind, und diese jeweils als [mm] a_i*\vektor{1 \\ 0}+b_i*\vektor{0 \\ 1} [/mm] darstellen.
Die i-te Spalte der neuen Matrix ist dann [mm] \vektor{a_i \\ b_i}.
[/mm]
> b) Weiterhin sei ein vektro v R³ durch [mm] [v]_{K_3} [/mm] := (7,8,9) gegeben.
> bestimmen Sie das Bild [mm] [Psi(v)]_C [/mm]
Da man in [mm] \Psi_B^C :=\pmat{ 1 & 2&3 \\ 4 & 5 &6} [/mm] Vektoren in der Darstellung bzgl. B hineinstecken muß,
mußt Du
[mm] (7,8,9)_{K_3} [/mm] zunächst schreiben als
[mm] (7,8,9)_{K_3}=a\vektor{0 \\ 1\\1}+b\vektor{1 \\ 0\\1}+c\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
Und dann [mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ 4 & 5 &6}*\vektor{a \\ b\\c} [/mm] rechnen.
Das liefert Dir das Bild in der Darstellung bzgl. C.
(Noch eine Bemerkung: wenn Du verstanden hast, wie die Sache funktioniert, kannst/solltest Du Dich mit den Transformationsmatrizen vertraut machen.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
