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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 So 22.01.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei R exponentialverteilt mit dem Parameter [mm] \lambda =\bruch{1}{2}, [/mm] W uniform verteilt auf dem Intervall [mm] [0,2\pi), [/mm] und R,W seien unabhängig.
Sei nun (X,Y ) := [mm] (\wurzel{R}cos(W),\wurzel{R}sin(W)).
[/mm]
Zeige mit Hilfe des Transformationssatzes, dass X und Y unabhängig und standardnormalverteilt sind.
Tipp: Mit Aufgabe 1 wissen wir, wie die gemeinsame Dichte von (R,W) bzw. die von (X,Y ) aussehen muss. Bei der Benutzung des Transformationssatzes können wir außerdem den Punkt (0,0) vernachlässigen |
Hallo ihr Lieben,
wieder mal ganz viele Fragen!
so erstmal zu dem was ich weiß :
R exponential verteil mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}:
[/mm]
[mm] f_R(r)= \bruch{1}{2} \cdot{}e^{-\bruch{1}{2} r} \cdot{} \underbrace{1_{[0,\infty]}(r)}_{=Indikatorfkt}
[/mm]
W uniform verteilt auf [mm] [0,2\pi) [/mm] :
[mm] f_W(w)=\begin{cases} \bruch{1}{2\pi-\epsilon}, & \mbox{für } w \in [0,2\pi) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
da R,W unabhängig gilt : [mm] f_W [/mm] * [mm] f_R [/mm] = [mm] f_{(R,W)}
[/mm]
Unser Transformationssatz aus dem Skript :
Seien $ [mm] (X_1,X_2) [/mm] $ ein Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichte $ [mm] f_{ (X_1,X_2)} [/mm] $ und g : $ [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $ eine bijektive Abbildung, d.h.
$ [mm] g(x_1,x_2) [/mm] $ = ( $ [mm] g_1(x_1,x_2) [/mm] $ , $ [mm] g_2(x_1,x_2)). [/mm] $
Sei $ [mm] g^{-1}(y_1,y_2) [/mm] $ = ( $ [mm] X_1(y_1,y_2) [/mm] $ , $ [mm] X_2(y_1,y_2)). [/mm] $ Angenommen $ [mm] g^{-1} [/mm] $ hinreichend glatt, s.d. Jakobian J existiert, wobei
$ [mm] J(y_1,y_2) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\partial X_1}{\partial y_1} \cdot \bruch{\partial X_2}{\partial y_2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{\partial X_1}{\partial y_2} \cdot \bruch{\partial X_2}{\partial y_1}. [/mm] $
Dann ist ( $ [mm] Y_1,Y_2) [/mm] $ = ( $ [mm] g_1(x_1,x_2) [/mm] $ , $ [mm] g_2(x_1,x_2)) [/mm] $ ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte
$ [mm] f_{( Y_1,Y_2)}(y_1,y_2) [/mm] $ = $ [mm] f_{ (X_1,X_2)} [/mm] $ (( $ [mm] X_1(y_1,y_2) [/mm] $ , $ [mm] X_2(y_1,y_2)) \cdot{} |J((y_1,y_2)|. [/mm] $
zz. X,Y unabhängig [mm] \Rightarrow f_X [/mm] * [mm] f_Y [/mm] = [mm] f_{(X,Y)} [/mm] und standardnormalverteilt, d.h.: [mm] f_X(x)= \bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-x^{2}}{2}} [/mm] bzw [mm] f_Y(y)
[/mm]
mit Hilfe des obigen Satzes.
So nun würde ich einfach" den Satz anwenden.
wobei :
(X,Y) = [mm] (\wurzel{R}cos(W),\wurzel{R}sin(W)) [/mm] = g(r,w) $ = ( $ [mm] g_1(r,w) [/mm] $ , $ [mm] g_2(r,w))
[/mm]
durch Umformung erhalte ich dann
aus
X = [mm] \wurzel{R}cos(W) \Rightarrow [/mm] R = [mm] (\bruch{X}{cos(w)})^2
[/mm]
und aus
Y = [mm] \wurzel{R}sin(W) [/mm] mit obigen R [mm] \Rightarrow [/mm] W = [mm] tan^{-1}(\bruch{Y}{X})
[/mm]
nun W in R einsetzten [mm] \Rightarrow [/mm] R = [mm] \bruch{X^2}{\bruch{Y}{X} +1} [/mm] = [mm] \bruch{X^3}{Y+X}
[/mm]
[mm] g^{-1}(X,Y)= [/mm] ( [mm] \bruch{X^3}{Y+X}, tan^{-1}(\bruch{Y}{X})
[/mm]
und
J(X,Y) = [mm] \bruch{2X^4+2X^3 Y}{(Y+X)^2(Y^2+X^2)}
[/mm]
also gilt nun
[mm] f_{(X,Y)}(x,y) [/mm] = [mm] f_{ (R,W)}(R(x,y),W(x,y)) \cdot{} [/mm] |J(x,y)|
soo nun zu meinem größten Problem:
Ich kann [mm] f_{(R,W)}(r,w) [/mm] = [mm] f_R(r)*f_W(w) [/mm] nicht bestimmen!
Ist das
[mm] f_{(R,W)}(r,w) [/mm] = [mm] f_R(r)*f_W(w) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{\bruch{1}{2} \cdot{}e^{-\bruch{1}{2} r}}{2\pi-\epsilon}, & \mbox{für } w \in [0,2\pi) \mbox{und} r \in [0,\infty] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
?
Wäre das sonst soweit korrekt?
Würde dann
[mm] f_{ (R,W)}(\bruch{X}{cos(w)})^2, \bruch{X^3}{Y+X}) \cdot{} \bruch{2X^4+2X^3 Y}{(Y+X)^2(Y^2+X^2)}
[/mm]
bestimmten und hoffen, dass da dann die Standardnormalverteilung rauskommt und überprüfen ob [mm] f_{(X,Y)} [/mm] = [mm] f_X [/mm] * [mm] f_Y [/mm] ist.
Was sagt ihr dazu?
Vielen Dank und schönen ABend noch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 24.01.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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