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Hey,
zu zeigen ist: 60 teilt [mm] n^6-n^2 [/mm] für alle natürlichen Zahlen n.
Kann ich diese Aufgabe mit Hilfe von modulo Rechnung lösen? es gilt ja: [mm] 60=2^2*3*5 [/mm] und dann könnte man ja äquivalent zu obiger Aussage folgendes formulieren:
[mm] n^6\equiv n^2 [/mm] mod 4
[mm] n^6\equiv n^2 [/mm] mod 3
[mm] n^6\equiv n^2 [/mm] mod 5
Diese drei Bedingungen müssen erfüllt sein und dann gilt obige Aussage.
Kann man das versuchen? Und wenn ja, wie müsste ich dann weitermachen?
mfg
piccolo
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> Hey,
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> zu zeigen ist: 60 teilt [mm]n^6-n^2[/mm] für alle natürlichen
> Zahlen n.
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> Kann ich diese Aufgabe mit Hilfe von modulo Rechnung
> lösen? es gilt ja: [mm]60=2^2*3*5[/mm] und dann könnte man ja
> äquivalent zu obiger Aussage folgendes formulieren:
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> [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 4
> [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 3
> [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 5
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> Diese drei Bedingungen müssen erfüllt sein und dann gilt
> obige Aussage.
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> Kann man das versuchen? Und wenn ja, wie müsste ich dann
> weitermachen?
Das ist der richtige Ansatz. Aus dem chinesischen Restsatz folgt dann [mm] n^6-n^2\equiv [/mm] 0 mod 60
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> mfg
> piccolo
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> > Hey,
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> > zu zeigen ist: 60 teilt [mm]n^6-n^2[/mm] für alle natürlichen
> > Zahlen n.
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> > Kann ich diese Aufgabe mit Hilfe von modulo Rechnung
> > lösen? es gilt ja: [mm]60=2^2*3*5[/mm] und dann könnte man ja
> > äquivalent zu obiger Aussage folgendes formulieren:
> >
> > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 4
> > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 3
> > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 5
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> > Diese drei Bedingungen müssen erfüllt sein und dann gilt
> > obige Aussage.
> >
> > Kann man das versuchen? Und wenn ja, wie müsste ich dann
> > weitermachen?
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> Das ist der richtige Ansatz. Aus dem chinesischen Restsatz
> folgt dann [mm]n^6-n^2\equiv[/mm] 0 mod 60
Könntest du evtl. kurz erläutern, wie man auf diesen Zusammenhang kommt?
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> > mfg
> > piccolo
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Hallo piccolo,
> > > zu zeigen ist: 60 teilt [mm]n^6-n^2[/mm] für alle natürlichen
> > > Zahlen n.
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> > > Kann ich diese Aufgabe mit Hilfe von modulo Rechnung
> > > lösen? es gilt ja: [mm]60=2^2*3*5[/mm] und dann könnte man ja
> > > äquivalent zu obiger Aussage folgendes formulieren:
> > >
> > > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 4
> > > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 3
> > > [mm]n^6\equiv n^2[/mm] mod 5
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> > > Diese drei Bedingungen müssen erfüllt sein und dann gilt
> > > obige Aussage.
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> > > Kann man das versuchen? Und wenn ja, wie müsste ich dann
> > > weitermachen?
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> > Das ist der richtige Ansatz. Aus dem chinesischen Restsatz
> > folgt dann [mm]n^6-n^2\equiv[/mm] 0 mod 60
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> Könntest du evtl. kurz erläutern, wie man auf diesen
> Zusammenhang kommt?
Naja, das ist doch ziemlich offensichtlich, wenn man es so schreibt:
[mm] n^6\equiv n^2 \mod{3*4*5}
[/mm]
Genau das ist doch die Aussage des chinesischen Restsatzes. Beachte, dass 3,4,5 untereinander paarweise teilerfremd sind!
Grüße
reverend
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