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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Do 18.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Bestimme die ersten 3 Terme der taylorreihe tan(x) mithilfe des Cauchyproduktes. |
cos (x) * tan(x) = sin(x)
[mm] \sum_{k=0}^\infty a_k x^k [/mm] * [mm] \sum_{l=0}^\infty b_l x^l [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty (a_i b_{n-i}) x^n
[/mm]
Jetzt müsste ich da einen koeffizientenvergleich machen, schaffe es aber leider nicht.
Also an den [mm] b_l [/mm] bin ich interessiert.
Danke für jegliche Hilfe.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme die ersten 3 Terme der taylorreihe tan(x) mithilfe
> des Cauchyproduktes.
> cos (x) * tan(x) = sin(x)
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k x^k[/mm] * [mm]\sum_{l=0}^\infty b_l x^l[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (a_i b_{n-i}) x^n[/mm]
na, rechterhand muss
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n(a_i b_{n-i}) x^n$$
[/mm]
stehen.
> Jetzt müsste ich da einen koeffizientenvergleich machen,
> schaffe es aber leider nicht.
> Also an den [mm]b_l[/mm] bin ich interessiert.
Was hast Du denn gerechnet? Rechterhand kannst Du ja einfach die
Taylorreihe des Sinus hinschreiben, linkerhand kennst Du die [mm] $a_k\,,$
[/mm]
wenn Du Dir die Taylorreihe des Kosinus anguckst. Der Rest ist dann doch
nur "linke Seite nach Potenzen (alle entsprechenden Faktoren werden in
einer Summe vor die entsprechende Potzenz als Faktor gesammelt - bzw.
das Cauchyprodukt hat das schon gemacht!) sortieren (quasi wie beim
Distributivgesetz)" und mit der rechten Seite vergleichen (da haben wir ja schon alles sortiert).
Da Du nur bis [mm] $x^2$ [/mm] vergleichen sollst, wirst Du wohl dann drei
Gleichungen in den Variablen [mm] $b_0\,,$ $b_1$ [/mm] und [mm] $b_2$ [/mm] erhalten.
(Da steht ja "die ersten 3 Terme - und nicht 'bis zur 3en Potenz'").
Du musst halt schon die Sinus- und Kosinustaylorreihen benutzen, sonst
wird das nix ^^
Aber danach ist das im Prinzip ein Verfahren was so ähnlich geht, wie,
beispielsweise bei sowas:
Bestimme [mm] $a,b\,$ [/mm] so, dass füralle [mm] $x\,$ [/mm] gilt
[mm] $$(4b+a)x^2+(a+b)=22x^2+6\,.$$
[/mm]
Dann hätte man hier durch Vergleich
$$4b+a=22$$
und
[mm] $$a+b=6\,.$$
[/mm]
Ein einfaches lineares GLS in [mm] $a,b\,,$ [/mm] was zu lösen ist. Sowas sollte bei
Deiner Aufgabe auch entstehen... Wenn Du halt bedenkst:
[mm] $$(...)*x^0+(...)*x^1+(...)*x^2+\text{Rest}_1=\text{Taylorreihe von sin bis }x^2+\text{Rest}_2$$
[/mm]
Du vergleichst also nur die "Polynomanteile jeweils bis Grad 2". Da gibt's
ja auch einen Satz aus der Analysis, den Du vll. kennst:
Den Identitätssatz für holomorphe Funktionen. Etwa mit dem kannst Du
das begründen (aber auch mit Potenzreihenergebnissen, wenn ich mich
richtig erinnere)...
P.S.
Ich würde allerdings mal wenigstens die Koeffizienten so bis zur 3en
Potenz, besser noch bis zur 5en mal berechnen. Bei Wiki kannst Du
Dir ja die Taylorreihe des Tangens angucken und schauen, ob Dein
Ergebnis dann stimmt!
P.P.S.
Schreib' Dir nicht ein kompliziertes GLS hin, sondern schreib' Dir erstmal
alle Gleichungen gemäß des Exponentes der betrachteten Potenz hin,
diese Exponenten sollten von 0 beginnen und aufsteigend sein. Das hat
nämlich den Vorteil, dass Du direkt [mm] $b_0$ [/mm] berechnen kannst, dieses
Ergebnis dann bei der Berechnung von [mm] $b_1$ [/mm] verwenden kannst, bei
der Berechnung von [mm] $b_2$ [/mm] dann die Ergebnisse für [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_0$
[/mm]
einsetzen... d.h. Du löst einfach jede Gleichung direkt mit den
vorangegangenen Ergebnissen - so ähnlich wie, wenn Du ein GLS mit
einer Dreiecksmatrix löst... hier musst Du das GLS nur gar nicht mehr
in Dreiecksform bringen, es liegt quasi schon so vor!
Gruß,
Marcel
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