Taylorentwicklung exp(-x²) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Do 29.11.2007 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | Entwickeln sie exp(-x²) als Potenzreihe um x=0, alle Ordnungen. |
Guten Tag,
ich habe ein Problem mit der genannten Aufgabe. Ich hab mal die ersten 6 Ableitungen bestimmt. Damit bin ich auf folgendes Zwischenergebnis gekommen:
[mm] f(x)\approx1-\bruch{2}{2!}x²+\bruch{12}{4!}x^4-\bruch{120}{6!}x^6+\bruch{1680}{8!}x^8+...
[/mm]
Daraus schließe ich dass die unendliche Reihe in etwa so aussieht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{x^(2n)}{(2n)!} [/mm] . x hoch (2n) soll das sein, aber klappt nicht mit dem Editor hier:) Nun das Problem. Die Zähler ergeben sich ja daraus, dass man die e-Funktion immer weiter ableitet und 0 einsetzt. Leider sehe ich das Schema nicht welches dahinter steckt und das weitere Ableiten bereitet sehr viel Mühe. Das einzige, was ich gefunden hab ist: 1680/120=14 , 120/12=10 , 12/2=6 . Also müsste die nächste Zahl 30240 sein, da 30240/1680=18 und danach die 665280 wegen 665280/30240=22. Das Ergebnis also immer +4 geht. Hab aber keine Ahnung, ob das überhaut stimmt bzw. wie man es dann mit n ausdrückt.
Ein Denkanstoß oder auch direkt die Lösung würden mich glücklich machen :)
lg, christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kürz mal deine Brüche dann steht da im Nenner immer noch Fakultäten, aber viel kleinere. z.Bsp 120/6!=1/3!
Dann vergleich mal mit der Reihe für [mm] e^x [/mm] und setz statt x [mm] (-x^2) [/mm] ein!
Hochzahlen mit ^und dann geschweifte Klammern, wenn die Hochzahl mehr als ein Zeichen ist.
klick mal an [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x^2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Blacky |
Ok, vielen Dank Leduart, darauf hätte ich ja auch mal kommen können.. :-(
Mein Ergebnis ist jetzt also:
[mm] e^{-x²}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{n!}
[/mm]
P.S. danke für den Tipp mit den geschweiften Klammern.
lg, blacky
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