Systeme von Diff-Gleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 26.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man berechne die allgemeine Lösung [mm] \vec{x} [/mm] des Differentialgleichungssystems von der Form [mm] \vec{x}^{.}_{(t)} [/mm] = [mm] A*\vec{x}_{(t)} [/mm] mit A = [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 1 }. [/mm] Hinweis: Man löse dieses Beispiel durch Übergang auf eine Differentialgleichung 2. Ordnung! |
Hallo!
Habe einige Probleme bei o. g. Beispiel!
Ich kann dieses System ja als 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung aufschreiben:
[mm] x^{.} [/mm] = 3*x-y
[mm] y^{.} [/mm] = x+y
Nur wie kann ich diese beiden Differentialgleichungen erster Ordnung in eine Differentialgleichung 2. Ordnung überführen??
Wäre für jeden Tipp sehr dankbar!
Lg
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Man berechne die allgemeine Lösung [mm]\vec{x}[/mm] des
> Differentialgleichungssystems von der Form
> [mm]\vec{x}^{.}_{(t)}[/mm] = [mm]A*\vec{x}_{(t)}[/mm] mit A = [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 1 }.[/mm]
> Hinweis: Man löse dieses Beispiel durch Übergang auf eine
> Differentialgleichung 2. Ordnung!
> Hallo!
>
> Habe einige Probleme bei o. g. Beispiel!
>
> Ich kann dieses System ja als 2 Differentialgleichungen 1.
> Ordnung aufschreiben:
>
> [mm]x^{.}[/mm] = 3*x-y
> [mm]y^{.}[/mm] = x+y
>
> Nur wie kann ich diese beiden Differentialgleichungen
> erster Ordnung in eine Differentialgleichung 2. Ordnung
> überführen??
>
Löse die Gleichung
[mm]x'=3*x-y[/mm]
nach y auf, differenziere diese Lösung
und setze sie in die verbleibende Gleichung
[mm]y' = x+y[/mm]
ein.
> Wäre für jeden Tipp sehr dankbar!
>
> Lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 So 27.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
Guten Morgen!
Bin nun wie folgt vorgegangen:
Löse die Gleichung [mm] x'=3\cdot{}x-y [/mm] nach y auf : [mm] \mapsto [/mm] y=3*x-x'
differenziere diese Lösung: [mm] \mapsto [/mm] y'=3*x'-x''
und setze sie in die verbleibende Gleichung y' = x+y ein: [mm] \mapsto [/mm] 3*x'-x''= x+y
Nach umformen erhalte ich: x''-3*x'+x=-y
Jetzt habe ich die Differentialgleichung gelöst und als Ergebnis
x = [mm] C_{1}*e^{(\bruch{3}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})*y} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{(\bruch{3}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2})*y}-y-3
[/mm]
Zur Kontrolle habe ich nun das anfängliche System (ohne Überführung) gelöst!
Hier erhalte ich als Ergebnis:
x = [mm] C_{1}*e^{2t}*\vektor{t+1 \\ t}-C_{2}*e^{2t}*\vektor{t \\ t-1}
[/mm]
Welches Ergebnis stimmt nun, bzw. wo habe ich einen Fehler??
Danke für eure Hilfe!
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Guten Morgen!
>
> Bin nun wie folgt vorgegangen:
>
> Löse die Gleichung [mm]x'=3\cdot{}x-y[/mm] nach y auf : [mm]\mapsto[/mm]
> y=3*x-x'
>
> differenziere diese Lösung: [mm]\mapsto[/mm] y'=3*x'-x'' ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und setze sie in die verbleibende Gleichung y' = x+y ein:
> [mm]\mapsto[/mm] 3*x'-x''= x+y
Ersetze doch $y$ noch durch $3x-x'$
Dann hast du die recht einfach zu lösende Dgl. $x''-4x'+4x=0$
>
> Nach umformen erhalte ich: x''-3*x'+x=-y
>
> Jetzt habe ich die Differentialgleichung gelöst und als
> Ergebnis
>
> x = [mm]C_{1}*e^{(\bruch{3}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})*y}[/mm] +
> [mm]C_{2}*e^{(\bruch{3}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2})*y}-y-3[/mm]
>
> Zur Kontrolle habe ich nun das anfängliche System (ohne
> Überführung) gelöst!
>
> Hier erhalte ich als Ergebnis:
>
> x = [mm]C_{1}*e^{2t}*\vektor{t+1 \\
t}-C_{2}*e^{2t}*\vektor{t \\
t-1}[/mm]
>
> Welches Ergebnis stimmt nun, bzw. wo habe ich einen
> Fehler??
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Guten Morgen!
>
> Bin nun wie folgt vorgegangen:
>
> Löse die Gleichung [mm]x'=3\cdot{}x-y[/mm] nach y auf : [mm]\mapsto[/mm]
> y=3*x-x'
>
> differenziere diese Lösung: [mm]\mapsto[/mm] y'=3*x'-x''
>
> und setze sie in die verbleibende Gleichung y' = x+y ein:
> [mm]\mapsto[/mm] 3*x'-x''= x+y
>
> Nach umformen erhalte ich: x''-3*x'+x=-y
>
> Jetzt habe ich die Differentialgleichung gelöst und als
> Ergebnis
>
> x = [mm]C_{1}*e^{(\bruch{3}{2}-\bruch{\wurzel{5}}{2})*y}[/mm] +
> [mm]C_{2}*e^{(\bruch{3}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2})*y}-y-3[/mm]
>
> Zur Kontrolle habe ich nun das anfängliche System (ohne
> Überführung) gelöst!
>
> Hier erhalte ich als Ergebnis:
>
> x = [mm]C_{1}*e^{2t}*\vektor{t+1 \\ t}-C_{2}*e^{2t}*\vektor{t \\ t-1}[/mm]
>
Diese Lösung ist richtig.
> Welches Ergebnis stimmt nun, bzw. wo habe ich einen
> Fehler??
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Lg
Gruss
MathePower
|
|
|
|
