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Supremum: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Sa 09.03.2013
Autor: Rated-R

Aufgabe
Geben Sie das Supremum folgender Mengen an:

a) {x [mm] \in ]-\pi,\pi]| \vmat{ x-\wurzel(2)}\in \IQ \} [/mm]

b) [mm] \{inf\{(-1)^n/n | n\ge k\}| k \in \IN_+\} [/mm]

Hallo,

stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und habe ein paar fragen zu der Aufgabe.

a) Die Menge hat ihr Maximum bei [mm] \pi-\wurzel(2) [/mm] allerdings ist die Zahl irrational, ich müsste deshalb [mm] \pi-\wurzel(2) \le [/mm] n/m - [mm] \varepsilon_0 [/mm]   mit [mm] \varepsilon_0>0 [/mm] konstruieren, da [mm] \IQ [/mm] aber nicht vollständig ist würde ich sagen das es kein supremum in [mm] \IQ [/mm] gibt?

b) Muss man hier unterscheiden ob k gerade/ungerade ist das infimium würde [mm] (-1)^k/k [/mm] liegen falls k ungerade und bei (-1)^(k+1)/(k+1) falls k gerade oder täusch ich mich?


Danke für eure Hilfe!
gruß Tom

        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Sa 09.03.2013
Autor: abakus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Geben Sie das Supremum folgender Mengen an:
>  
> a) {x [mm]\in ]-\pi,\pi]| \vmat{ x-\wurzel(2)}\in \IQ \}[/mm]
>  
> b) [mm]\{inf\{(-1)^n/n | n\ge k\}| k \in \IN_+\}[/mm]
>  Hallo,
>  
> stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und habe ein
> paar fragen zu der Aufgabe.
>  
> a) Die Menge hat ihr Maximum bei [mm]\pi-\wurzel(2)[/mm] allerdings

Nein, bei [mm]-\pi[/mm].

> ist die Zahl irrational, ich müsste deshalb [mm]\pi-\wurzel(2) \le[/mm]
> n/m - [mm]\varepsilon_0[/mm]   mit [mm]\varepsilon_0>0[/mm] konstruieren, da
> [mm]\IQ[/mm] aber nicht vollständig ist würde ich sagen das es
> kein supremum in [mm]\IQ[/mm] gibt?

Das sehe ich auch so.

>  
> b) Muss man hier unterscheiden ob k gerade/ungerade ist das
> infimium würde [mm](-1)^k/k[/mm] liegen falls k ungerade


...also bei 1/k

> und bei
> (-1)^(k+1)/(k+1)

...also bei -1/(k+1)

> falls k gerade oder täusch ich mich?

Du täuschst dich nicht.

>  
>
> Danke für eure Hilfe!
>  gruß Tom


Bezug
        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Sa 09.03.2013
Autor: fred97

Bei a) muß ich widersprechen !


Betrachten wir [mm] f(x):=|x-\wurzel{2}|, [/mm]

    [mm] M_1:=\{x \in ( - \pi, \pi]: f(x) \in \IR \} [/mm]

und

     [mm] M_2:=\{x \in ( - \pi, \pi]: f(x) \in \IQ \} [/mm]

Gesucht ist das Supremum von [mm] M_2 [/mm] und zwar in [mm] \IR [/mm]  !!!

[mm] M_2 [/mm] in Worten:  x [mm] \in M_2 \gdw [/mm]  x [mm] \in [/mm] ( - [mm] \pi, \pi] [/mm] und f(x) [mm] \in \IQ [/mm]

Grundmenge für [mm] M_2 [/mm] ist also [mm] \IR. [/mm]

Es ist [mm] $M_1= [/mm] f((- [mm] \pi, \pi])= [/mm] [0, [mm] \pi [/mm] + [mm] \wurzel{2})$ [/mm]

Damit ist [mm] $sup(M_1)=\pi [/mm] + [mm] \wurzel{2}$ [/mm]

Wegen [mm] $M_2=M_1 \cap \IQ$ [/mm] ist

[mm] $sup(M_2)=\pi [/mm] + [mm] \wurzel{2}$ [/mm]

FRED

Bezug
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