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| Aufgabe | Beweisen oder Widerlegen Sie: Es gibt eine stetige Funktion f:[0, [mm] \infty) [/mm] --> [0, [mm] \infty) [/mm] mit den beiden Eigenschaften:
a) Es existiert eine Folge [mm] M_{j} [/mm] aus [mm] (1,\infty) [/mm] mit
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} M_{j}(lnM_{j})f(M_{j})=\infty
[/mm]
b) das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{ \infty}{f(x) dx} [/mm] existiert |
Hallo ihrs,
es ist mal wieder Donnerstag Abend, und die letzte Aufgabe auf dem Übungsblatt will sich nicht ergeben.
Ich habe keine Ahnung wie ich hier ran gehen könnte.
Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!
Die Aufgabe gehört nicht zum Aktuellen Stoff, und es wurden auch keine Hinweise gegeben.
Hat einer eine Idee?
Viele Grüße,
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sara!
> Beweisen oder Widerlegen Sie: Es gibt eine stetige Funktion
> f:[0, [mm]\infty)[/mm] --> [0, [mm]\infty)[/mm] mit den beiden
> Eigenschaften:
>
> a) Es existiert eine Folge [mm]M_{j}[/mm] aus [mm](1,\infty)[/mm] mit
>
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} M_{j}(lnM_{j})f(M_{j})=\infty[/mm]
>
> b) das uneigentliche Integral [mm]\integral_{0}^{ \infty}{f(x) dx}[/mm]
> existiert
> Hallo ihrs,
>
> es ist mal wieder Donnerstag Abend, und die letzte Aufgabe
> auf dem Übungsblatt will sich nicht ergeben.
>
> Ich habe keine Ahnung wie ich hier ran gehen könnte.
>
> Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!
>
> Die Aufgabe gehört nicht zum Aktuellen Stoff, und es wurden
> auch keine Hinweise gegeben.
>
> Hat einer eine Idee?
Bastel dir eine stetige Funktion $g : [0, 2] [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty]$ [/mm] mit $g(1) = 1$ und $g(0) = 0 = g(2)$.
Dann schau dir mal die Funktion [mm] $h_n [/mm] : [0, [mm] \frac{2}{n^2}]$, [/mm] $t [mm] \mapsto g(n^2 [/mm] t)$ an. Fuer diese gilt [mm] $h_n(\frac{1}{n^2}) [/mm] = 1$. Berechne mal [mm] $\int_0^{2/n^2} h_n(t) \; [/mm] dt$.
Jetzt musst du die Funktionen [mm] $h_n$ [/mm] noch passend verschieben, ausserhalb des Definitionsbereiches auf 0 setzen, und dann ueber alle verschobenen und mit 0 fortgesetzten [mm] $h_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] summieren.
LG Felix
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