Stetig differenzierbare Kurve < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 10.05.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Es sei [mm] (V,<\*,\*>_V) [/mm] ein Hilbertraum, [mm] I\subset\mathbb{R} [/mm] ein offenes Intervall und [mm] \gamma [/mm] : I [mm] \rightarrow [/mm] V eine stetig differenzierbare Kurve.
Zeigen Sie:
f: I [mm] \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] t [mm] \mapsto \parallel\gamma (t)\parallel^2 [/mm] ist stetig differenzierbar, die Ableitung ist durch [mm] f'(t)=2<\gamma(t)>\gamma'(t)>_V [/mm] gegeben. |
Hallo zusammen,
ich sitze vor obiger Aufgabe und bin ein wenig ratlos.
Wie kann man zeigen, dass die gegebene Funktion stetig differenzierbar ist?
Stetig differenzierbar bedeutet ja, dass die Funktion differenzierbar und die Ableitung stetig ist. Das Problem bei der Differenzierbarkeit sehe ich nur in der Norm, da [mm] \gamma(t) [/mm] nach Aufgabenstellung und [mm] x^2 [/mm] ebenfalls differenzierbar ist. Fraglich ist also noch ob die Norm differenzierbar ist.
Über die Norm weiß ich aber leider nichts. Wie kann man denn zeigen, dass sie differenzierbar ist?
Wie ich auf die Ableitung kommen soll ist mir auch nicht klar. Über dem [mm] \mathbb{R}^n [/mm] hätte ich ja noch eine Idee, da dort ja gilt [mm] \parallel x\parallel [/mm] = [mm] \sqrt{}. [/mm] Aber in diesem beliebigen Raum fehlt mir ein gescheiter Ansatz.
Hat jemand einen Hinweis für mich?
Danke schon einmal und liebe Grüße,
Theta
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](V,<\*,\*>_V)[/mm] ein Hilbertraum, [mm]I\subset\mathbb{R}[/mm]
> ein offenes Intervall und [mm]\gamma[/mm] : I [mm]\rightarrow[/mm] V eine
> stetig differenzierbare Kurve.
> Zeigen Sie:
> f: I [mm]\rightarrow \mathbb{R}:[/mm] t [mm]\mapsto \parallel\gamma (t)\parallel^2[/mm]
> ist stetig differenzierbar, die Ableitung ist durch
> [mm]f'(t)=2<\gamma(t)>\gamma'(t)>_V[/mm] gegeben.
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze vor obiger Aufgabe und bin ein wenig ratlos.
> Wie kann man zeigen, dass die gegebene Funktion stetig
> differenzierbar ist?
> Stetig differenzierbar bedeutet ja, dass die Funktion
> differenzierbar und die Ableitung stetig ist. Das Problem
> bei der Differenzierbarkeit sehe ich nur in der Norm, da
> [mm]\gamma(t)[/mm] nach Aufgabenstellung und [mm]x^2[/mm] ebenfalls
> differenzierbar ist. Fraglich ist also noch ob die Norm
> differenzierbar ist.
> Über die Norm weiß ich aber leider nichts. Wie kann man
> denn zeigen, dass sie differenzierbar ist?
>
> Wie ich auf die Ableitung kommen soll ist mir auch nicht
> klar. Über dem [mm]\mathbb{R}^n[/mm] hätte ich ja noch eine Idee, da
> dort ja gilt [mm]\parallel x\parallel[/mm] = [mm]\sqrt{}.[/mm]
Das gilt doch in jedem Hilbertraum !!!!!!
> Aber in
> diesem beliebigen Raum fehlt mir ein gescheiter Ansatz.
> Hat jemand einen Hinweis für mich?
Es ist:
f(t) = $ [mm] \parallel \gamma(t)\parallel [/mm] ^2$ = [mm] ${<\gamma(t),\gamma(t)>}. [/mm] $
Sei [mm] t_0 \In [/mm] I:
[mm] $\bruch{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} [/mm] =< [mm] \gamma(t), \bruch{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0}>+<\bruch{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0},\gamma(t_0)>$
[/mm]
Jetzt t [mm] \to t_0
[/mm]
FRED
>
>
> Danke schon einmal und liebe Grüße,
>
> Theta
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> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf
> keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Theta |
> > Wie ich auf die Ableitung kommen soll ist mir auch nicht
> > klar. Über dem [mm]\mathbb{R}^n[/mm] hätte ich ja noch eine Idee, da
> > dort ja gilt [mm]\parallel x\parallel[/mm] = [mm]\sqrt{}.[/mm]
>
> Das gilt doch in jedem Hilbertraum !!!!!!
Ach so...
das war mir nicht bewusst. Damit steht die Aufgabe gleich in einem ganz neuen Licht.
Dann versuche ich mich mal daran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Theta |
Hallo,
mir ist heute ein weiteres Problem bewusst geworden. Und zwar habe ich mich mit der Herleitung der Ableitung beschäftigt und es auch hinbekommen, allerdings muss ich dafür die Annahme machen, dass der Raum endlich-dimensional ist, was mir nach Aufgabenstellung aber nicht gegeben ist.
Beim Differentialkoeffizienten habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] t_0\in [/mm] I, [mm] t=t_0+h [/mm] mit [mm] h\in \mathbb{R} [/mm] dann ergibt sich analog zu oben der Differentialkoeffizient zu:
[mm] \frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}=<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>
[/mm]
Nun betrachte ich:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}(\frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h})=\limes_{h\rightarrow 0}(<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>)
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+\limes_{h\rightarrow 0}<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>
[/mm]
Jetzt ist die Frage wie ich dort weitermachen muss und ob die Überlegung bis hierher überhaupt noch stimmt.
Ich dachte mir, dass ich den Limes nun in das Skalarprodukt hineinziehen kann. Wenn dies zulässig ist wird einer der Einträge des Skalarproduktes zu 0 und ich kann 0 als Skalar hinausziehen, wodurch das gesamte Skalarprodukt dann zu 0 wird. Dass dies sowohl für den linksseitigen, als auch für den rechtsseitigen Grenzwert gilt ist klar.
Also bleiben die Fragen nach der Dimension des Raumes und der Richtigkeit der vorgestellten Überlegung.
Wäre nett, wenn noch einmal jemand ein paar Worte dazu sagen könnte.
Gruß,
Theta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> mir ist heute ein weiteres Problem bewusst geworden. Und
> zwar habe ich mich mit der Herleitung der Ableitung
> beschäftigt und es auch hinbekommen, allerdings muss ich
> dafür die Annahme machen, dass der Raum endlich-dimensional
> ist, was mir nach Aufgabenstellung aber nicht gegeben ist.
>
> Beim Differentialkoeffizienten habe ich mir folgendes
Differentialquotient !
> überlegt:
>
> [mm]t_0\in[/mm] I, [mm]t=t_0+h[/mm] mit [mm]h\in \mathbb{R}[/mm] dann ergibt sich
> analog zu oben der Differentialkoeffizient zu:
>
> [mm]\frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}=<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>[/mm]
>
> Nun betrachte ich:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h})=\limes_{h\rightarrow 0}(<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow 0}<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+\limes_{h\rightarrow 0}<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}>[/mm]
>
> Jetzt ist die Frage wie ich dort weitermachen muss und ob
> die Überlegung bis hierher überhaupt noch stimmt.
> Ich dachte mir, dass ich den Limes nun in das
> Skalarprodukt hineinziehen kann. Wenn dies zulässig ist
Die ist zulässig ! Mach Dir klar warum
> wird einer der Einträge des Skalarproduktes zu 0
??????????????????????????
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}<\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},\gamma(t_0+h)>+\limes_{h\rightarrow 0}<\gamma(t_0),\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h}> [/mm] = < [mm] \gamma'(t_0),\gamma(t_0)>+ <\gamma(t_0),\gamma'(t_0)>= 2<\gamma(t_0),\gamma'(t_0)>$
[/mm]
FRED
> und ich
> kann 0 als Skalar hinausziehen, wodurch das gesamte
> Skalarprodukt dann zu 0 wird. Dass dies sowohl für den
> linksseitigen, als auch für den rechtsseitigen Grenzwert
> gilt ist klar.
>
> Also bleiben die Fragen nach der Dimension des Raumes und
> der Richtigkeit der vorgestellten Überlegung.
>
> Wäre nett, wenn noch einmal jemand ein paar Worte dazu
> sagen könnte.
>
>
> Gruß,
> Theta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Theta |
Dass Grenzwertbildung und Auswertung vertauschen, also gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] = [mm] <\limes_{h\rightarrow 0}x_0+h,x_0>
[/mm]
ist eine Eigenschaft stetiger Funktionen. Es müsste also das Skalarprodukt eine stetige Funktion sein, was ich für die Stetigkeit der Ableitung sowieso noch nachweisen muss.
Stimmt das?
Werde mal versuchen was ich diesbezüglich herausbekommen kann.
Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Dass Grenzwertbildung und Auswertung vertauschen, also
> gilt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] = [mm]<\limes_{h\rightarrow 0}x_0+h,x_0>[/mm]
>
> ist eine Eigenschaft stetiger Funktionen. Es müsste also
> das Skalarprodukt eine stetige Funktion sein, was ich für
> die Stetigkeit der Ableitung sowieso noch nachweisen muss.
> Stimmt das?
Ja:
(*) [mm] $|-|= [/mm] |<h,z>| [mm] \le [/mm] ||h||*||z||$ für jedes z
(die letzte Ungl. ist die Cuachy-Schwarzsche Ungl.)
Aus (*) folgt:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] = [mm] [/mm] $ für jedes z
FRED
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> Werde mal versuchen was ich diesbezüglich herausbekommen
> kann.
> Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
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