Stammfunktion einer Dichtefkt. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 14.07.2005 | | Autor: | Olli80 |
Hallo,
diese Frage hab ich nirgendwo anders gestellt.
Ich habe eine Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in [0;1[ \\
2-x, & \mbox{für } x \in [1;2] \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Nun soll ich die Stammfunktion bilden:
Nach meiner Berechnung lautet diese folgendermaßen:
[mm] F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}*x^{2}, & \mbox{für } x \in [0;1[ \\
2*x-\bruch{1}{2}*x^{2}, & \mbox{für } x \in [1;2] \\
c, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
In der Lösung finden sich aber 4 Bereiche, was mir aber nicht klar ist:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\
\bruch{1}{2}*x^{2}, & \mbox{für } x \in [0;1[ \\
-1+2*x-\bruch{1}{2}*x^{2}, & \mbox{für } x \in [1;2] \\
1, & \mbox{für } x > 2 \end{cases}
[/mm]
Liegt das daran, daß ich eine Dichtefunktion habe, und diese immer von 0 bis 1 geht?
Und warum habe ich in der dritten Zeile noch ein "-1"?
Würde mich über eure Hilfe freuen,
Olli80
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 14.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Olli!
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in [0;1[ \\
2-x, & \mbox{für } x \in [1;2] \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
Da die Dichte für $x<0$ und $x>2$ verschwindet, ist sofort klar, dass $F(x)=0$ gilt für $x<0$ und $F(x)=1$ für $x>2$.
Durch stückweises Integrieren kommen wir also zunächst auf
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\
\bruch{1}{2}*x^{2} + C_1, & \mbox{für } x \in [0;1[ \\
2*x-\bruch{1}{2}*x^{2} + C_2, & \mbox{für } x \in [1;2] \\
1, & \mbox{für } x > 2 \end{cases}[/mm].
Nun muss man nur noch [mm] $C_1$ [/mm] und [mm] $C_2$ [/mm] so bestimmen, dass $F$ an den Übergangsstellen $x=0$, $x=1$ und $x=2$ stetig ist. Tut man dies, so kommt man auf die behauptete Funktion.
> Liegt das daran, daß ich eine Dichtefunktion habe, und
> diese immer von 0 bis 1 geht?
Du meinst die Verteilungsfunktion...
> Und warum habe ich in der dritten Zeile noch ein "-1"?
Wie gesagt, [mm] $C_2$ [/mm] wird so gewählt, dass durch diese Wahl die Stetigkeit von $F$ (in diesem Fall in $x=2$, und damit dann auch in $x=1$) gewährleistet wird.
Viele Grüße
Stefan
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