Stammfkt von (sinx)^2 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Swifty |
| Aufgabe | (es gibt keine exakte Aufgabenstellung..)
Aufgabe: Bilde die Stammfunktion von f(x) = [mm] sin((x))^2 [/mm] |
Guten Abend!
Ich wollte mich ein bisschen für die anstehende Klausur vorbereiten.
Jedoch hab ich bei der aufgabe ein kleines (?) Problem.
Also ich schreib einfach mal wie ich das versucht hab:
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm] = [sin(x)*(-cos(x))] - [mm] \integral_{}^{}{ cos(x)*(-cos(x)) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm] = [-cos(x)*sin(x)] + [mm] \integral_{}^{}{ cos(x)*cos(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm] = [-cos(x)*sin(x)] + [cos(x)*sin(x)] - [mm] \integral_{}^{}{-sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm] = [-cos(x)*sin(x)] + [cos(x)*sin(x)] + [mm] \integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
so.. wenn ich das jetzt umstelle, kommt raus
0 = 0
Und ich hab keine Ahnung was ich falsch gemacht hab....
Danke schonmal für jede Hilfe
mfg
Swifty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> (es gibt keine exakte Aufgabenstellung..)
> Aufgabe: Bilde die Stammfunktion von f(x) = [mm]sin((x))^2[/mm]
> Guten Abend!
> Ich wollte mich ein bisschen für die anstehende Klausur
> vorbereiten.
> Jedoch hab ich bei der aufgabe ein kleines (?) Problem.
>
> Also ich schreib einfach mal wie ich das versucht hab:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm] = [sin(x)*(-cos(x))] -
> [mm]\integral_{}^{}{ cos(x)*(-cos(x)) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} = [-cos(x)*sin(x)] + \integral_{}^{}{ cos(x)*cos(x) dx}[/mm]
Hallo Swifty,
gar nichts hast du falsch gemacht. Du weißt nur nicht, wie es weitergeht 
Deine ersten beiden Versuche haben offensichtlich das gleiche Ergebnis.
Nehmen wir mal das zweite:
An Stelle von [mm]\integral_{}^{}{ cos(x)*cos(x) dx}[/mm] kannst du auch schreiben [mm]\integral_{}^{}{(1- sin(x)*sin(x)) dx}[/mm] oder auch
[mm]\integral_{}^{}{1 dx} -\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
Die komplette Gleichung lautet dann:
[mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} = [-cos(x)*sin(x)] + \integral_{}^{}{1 dx} -\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
Beidseitige Addition von [mm] $\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}$ [/mm] führt zu
[mm]2*\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} = [-cos(x)*sin(x)] + \integral_{}^{}{1 dx} [/mm]
(rechte Seite ausrechnen, alles durch 2 teilen)
Viele Grüße
Abakus
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm] = [-cos(x)*sin(x)] +
> [cos(x)*sin(x)] - [mm]\integral_{}^{}{-sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm] = [-cos(x)*sin(x)] +
> [cos(x)*sin(x)] + [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
>
> so.. wenn ich das jetzt umstelle, kommt raus
> 0 = 0
>
> Und ich hab keine Ahnung was ich falsch gemacht hab....
> Danke schonmal für jede Hilfe
> mfg
> Swifty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Swifty |
Hi
Danke!
> An Stelle von [mm]\integral_{}^{}{ cos(x)*cos(x) dx}[/mm] kannst du
> auch schreiben [mm]\integral_{}^{}{(1- sin(x)*sin(x)) dx}[/mm] oder
> auch
> [mm]\integral_{}^{}{1 dx} -\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
wow...da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen. Naja okay, das schreib ich mir erstmal fett in Rot auf nen Formelzettel
> Beidseitige Addition von [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
> führt zu
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} = [-cos(x)*sin(x)] + \integral_{}^{}{1 dx}[/mm]
>
>
Also kommt im Endeffekt raus
[mm]\integral_{}^{}{sin(x)*sin(x) dx} = 1/2*(-cos(x)*sin(x) + x)[/mm]
Oder?
mfg
Swifty
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Korrekt, das Ergebnis ist
[mm] -\bruch{1}{2}*\sin(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*x
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Das Ergebnis kann man noch ein bisschen besser schreiben, indem man die Formel [mm] \sin (2x)=2*\sin [/mm] x [mm] *\cos [/mm] x verwendet:
[mm] -\bruch{1}{4}\sin [/mm] (2x) [mm] +\bruch{1}{2}x
[/mm]
P.S. man kann die Aufgabe auch ohne Partielle Integration lösen über:
[mm] (\sin x)^2=\bruch{1}{2}(1-\cos [/mm] (2x))
Folgt das Ergebnis fast direkt, da man nur einen einfachen Kosinus und eine Konstatnet Funktion integrieren muss.
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