Skalarprodukt-induzierte Norm < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X sei der reelle Vektorraum der reellen Folgen, die schließlich konstant Null sind. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x^{k})_{k\in\IN} [/mm] in X mit
[mm] x^{k}_{n}:=\bruch{1}{k} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] k (sonst := 0)
bezüglich der vom Skalarprodukt
[mm] :=\summe_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}
[/mm]
induzierten Norm eine Cauchyfolge in X ist, die in X nicht konvergiert. |
Hallo an alle!
Mir ist zwar der grobe Lösungsweg obiger Aufgabe klar, eines bereitet mir aber seit zwei Tagen Kopfzerbrechen:
Was genau ist denn die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm???
Mein Ansatz ist erstmal so:
Ich nehme an, dass die Folge bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Nomr konvergiert. (> Beweis durch Widerspruch!) Also gibt es ein y [mm] \in [/mm] X mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \parallel x^{k} [/mm] - y [mm] \parallel. [/mm]
Richtig?!
Aber wie löse ich diese Norm auf?
[mm] \parallel x^{k} [/mm] - y [mm] \parallel [/mm] = ???
DANKE FÜR'S HELFEN!
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Hallo futur.perfekt 
Die vom Skalarprodukt induzierte Norm ist immer:
[mm]||x|| = \sqrt{}[/mm]
MfG,
Gono.
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Danke, _das_ weiß ich. :)
Aber wie sieht es nun konkret aus, wenn ich eine Folge [mm] x^{k} [/mm] und den zugehörigen Grenzwert y habe:
[mm] \parallel x^{k} [/mm] - y [mm] \parallel [/mm] = ???
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Hallo,
nein, dieses y gibts eben gerade nicht, insofern kannst du das gar nicht betrachten.
Du musst zeigen, dass ein k existiert, so dass [mm]||x^k - x^l|| < \varepsilon[/mm] für [mm]l\ge k[/mm]. Ergo: Dass [mm] x^k [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
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