Seperation der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 08.09.2010 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Separation der Variablen?
[mm] y'+1=e^y, [/mm] Mit dem AWP: y(0)=-1 |
Die Lösung soll sein:
[mm] y(x)=\bruch{1}{1+ln(1-x^{2})}
[/mm]
Aber damit ist mir leider nicht geholfen, und Lösungen sind eh Langweilig. Also wollten wir den Weg ergründen.
das was wir gemacht haben ist:
[mm] y'+1=e^y
[/mm]
[mm] y'=e^y [/mm] - 1
[mm] y'=e^y [/mm] - 1
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^y [/mm] - 1
...
Und da ist unsehr Problem, es soll "einfach" sein aber wir sehen die möglichkeit des Ersetzens nicht. Wenn jemand ein Idee wie man da was machen kann dann raus damit. Danke!
|
|
| |
|
Hallo michime,
> Separation der Variablen?
> [mm]y'+1=e^y,[/mm] Mit dem AWP: y(0)=-1
> Die Lösung soll sein:
> [mm]y(x)=\bruch{1}{1+ln(1-x^{2})}[/mm]
>
> Aber damit ist mir leider nicht geholfen, und Lösungen
> sind eh Langweilig. Also wollten wir den Weg ergründen.
>
> das was wir gemacht haben ist:
>
> [mm]y'+1=e^y[/mm]
> [mm]y'=e^y[/mm] - 1
> [mm]y'=e^y[/mm] - 1
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]e^y[/mm] - 1
> ...
>
> Und da ist unsehr Problem, es soll "einfach" sein aber wir
> sehen die möglichkeit des Ersetzens nicht. Wenn jemand ein
> Idee wie man da was machen kann dann raus damit. Danke!
Nun, das ist soweit i.O.
Nun TdV:
[mm]\Rightarrow \frac{1}{e^y-1} \ dy \ = \ 1 \ dx[/mm]
Beiderseits integrieren:
[mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{e^y-1} \ dy} \ = \ \int{1 \ dx}[/mm]
Das Integral linkerhand kannst du mit der Substitution [mm]u=u(y):=e^y[/mm] und anschließender Partialbruchzerlegung erschlagen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 08.09.2010 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Separation der Variablen.
Losen Sie folgende Dierentialgleichungen. Geben Sie auch den maximalen Deffinitionsbereich der Lösung an.
y' + 1 = [mm] e^y [/mm] , AWP: y(0) = -1 |
Wir haben angefangen das umzustellen:
y' + 1 = [mm] e^y [/mm]
y' = [mm] e^y [/mm] -1
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^y [/mm] - 1
dy = [mm] (e^y [/mm] - 1) * dx
Allerdings können wird das y und dx nicht separieren. Bzw. wir sehen nich den kleinen Hacken an der Sache.
grüße
michime
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 08.09.2010 | | Autor: | michime |
DOPPELT!!!
Diese Frage ist Doppelt und ich kann sie Leider nicht löschen....würde es zu gern tun!
Tut mir leid...
MfG
Michi
|
|
|
| |
|
Hallo, die Frage hat doch schachuzipus gerade beantwortet, bitte nicht neu stellen, versuche die Hinweise zunächst umzusetzen
[mm] u:=e^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dy}=e^{y}
[/mm]
[mm] dy=\bruch{du}{e^{y}}
[/mm]
also wird
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{e^{y}-1} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{u-1} \bruch{du}{u}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}-u} du}
[/mm]
PBZ
[mm] \bruch{1}{u^{2}-u}=\bruch{A}{u}+\bruch{B}{u-1}
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
