Riccati DGL...? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute
Also ich muss eine Riccati Differential Gleichung lösen. Das Problem ich bekomme das einfach nicht hin. Vielleicht könnt ihr mir da ja helfen!
Die Angaben wären: 4y' = y² + 4/x² = 0 (für x ungleich 0) Gesucht ist die Lösung die durch (1,1) verläuft. Spezielle Lösung y1 = a/x
Hoffentlich kennt sich da jemand aus!
MfG Martin
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Hallo martinwisi,
Hat man eine Lösung( [mm] y_1 [/mm] ) einer Riccati Differentialgleichung gefunden kann man weitere über die Differenz [mm] u=y_2-y_1 [/mm] weitere berechnen.
[mm] y_1'=\bruch{y_1^2}{4}+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] y_2'=\bruch{y_2^2}{4}+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] y_2'-y_1'=\bruch{y_2^2-y_1^2}{4}
[/mm]
[mm] y_2'-y_1'=\bruch{(y_2-y_1)(y_2+y_1)}{4}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{u(u+2y_1)}{4}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{u^2+2y_1u}{4}
[/mm]
Dies ist eine Bernoulli DGL die mit der Substitution [mm] z=\bruch{1}{u} [/mm] in eine lineare Differentialgleichung überführt werden kann.
Im Übrigen löst [mm] y_1 [/mm] nur für a=2 (einsetzen) deine DGL.
viele Grüße
mathemaduenn
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