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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Skipper |
Hi,
Ich hab ersteinmal eine Frage zum Verständniss der folgenden Aufgabe:
Betrachten Sie die Folge von Funktionen [mm] f_{n}:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] f_{n}(x):=\bruch{x}{n(1+nx^{2})}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{\nu=1}^{\infty}f_{\nu}(x) [/mm] eine stetige Funktion f definiert, und beweisen Sie, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}xf(x)=\limes_{x\rightarrow \infty}xf(x)=\summe_{\nu=1}^{\infty}\bruch{1}{\nu^{2}}
[/mm]
Ist in diesem Fall [mm] f_{n}(x)=f_{\nu}(x) [/mm] ?
Könnt ihr mir Ansätze zur Lösung der Aufgabe nennen?
Danke für eure Hilfe
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:09 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Skipper!
Wegen
[mm] $1-2\sqrt{n}x [/mm] + n^2x = (1- [mm] \sqrt{n}x)^2 \ge [/mm] 0$
ist
$2 [mm] \sqrt{n}x \ge [/mm] 1 + [mm] nx^2$,
[/mm]
und damit
[mm] $g_n [/mm] = [mm] \frac{x}{n(2\sqrt{n}x)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}$
[/mm]
eine summierbare Majorante von
[mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{x}{n(1+nx^2)}$.
[/mm]
Daraus folgen dann alle Behauptungen, die letzte aus dem Konvergenzsatz von Lebesgue.
Liebe Grüße
Stefan
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