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Rang einer Matrix: Rang bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Di 19.01.2016
Autor: Haloelite

Hallo, ich habe ein LGS mit
x+y = 10
2x+y= 8
x+2y= 22

So, die Lösungen für x und y hab ich..
aber  mit dem Rang von A bzw. A|b habe ich Schwierigkeiten.
Der Rang von A müsste min(n,m) sein also 2. Und da n(Anzahl Unbekannte) = rg(A) ist, hat das LGS auch eine eindeutige Lösung.
Aber müsste der Rang von A|b nicht auch 2 sein, damit das LGS lösbar ist?
Ich finde nämlich keine linear abhängigen Zeilen/Spaltenvektoren und mit der Zeilenstufenform komme ich auch nicht weiter.

Hilfe wäre nett. Danke


        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Di 19.01.2016
Autor: sandroid


Du findest keine linear abhängigen Zeilenvektoren?

Hallo Haloelite,

addiere einmal die letzten beiden Zeilen zusammen. Dann erhältst du das 3-fache der ersten Zeile. Schon hast du deine lineare Abhängigkeit. D.h. zum Beispiel Zeile 1 lässt sich problemlos als Linearkombination von Zeile 2 und 3 schreiben.

Wenn dir das noch nicht weiter hilft bei deiner Verständnisfrage, kannst du gerne nochmal rückfragen.

Gruß,
Sandro

Bezug
        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Mi 20.01.2016
Autor: fred97


> Hallo, ich habe ein LGS mit
> x+y = 10
>  2x+y= 8
>  x+2y= 22
>  
> So, die Lösungen für x und y hab ich..
>  aber  mit dem Rang von A bzw. A|b habe ich
> Schwierigkeiten.
>  Der Rang von A müsste min(n,m) sein also 2. Und da
> n(Anzahl Unbekannte) = rg(A) ist, hat das LGS auch eine
> eindeutige Lösung.
>  Aber müsste der Rang von A|b nicht auch 2 sein, damit das
> LGS lösbar ist?
>  Ich finde nämlich keine linear abhängigen
> Zeilen/Spaltenvektoren und mit der Zeilenstufenform komme
> ich auch nicht weiter.

Tja, wenn Du nichts vorrechnest kann man Dir auch nicht sagen, wo Du Fehler machst. Die Zeilenstufenform kann man hier doch ganz einfach herstellen.

Wir haben [mm] (A|b)=\pmat{ 1 & 1 & | 10 \\ 2 & 1 & | 8 \\ 1 & 2 & | 22} [/mm]

Daraus wird die Zeilenstufenform

(*)  [mm] \pmat{ 1 & 1 & | 10 \\ 0 & 1 & | 12 \\ 0 & 0 & | 0} [/mm]

Nun kann man ablesen: rg(A)=rg(A|b)=2.

Das LGS ist also lösbar. Es ist sogar eindeutig lösbar. Aus (*) liest man ab:

    y=12 und x=-2

FRED



>  
> Hilfe wäre nett. Danke
>  


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