Quadraturformel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 So 11.01.2009 | | Autor: | Belle_ |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage:
Der Genauigkeitsgrad einer Quadraturformel auf einem Intervall I mit n+1 Knoten ist höchstens (2n + 1).
(Gauß-Quadraturformeln sind also Quadraturformeln von maximaler Ordnung)
Hinweis:
Stellen Sie ein Polynom auf, das den Grad 2n+2 hat, dessen Integral über das Intervall I positiv ist und dessen Nullstellen genau den Knoten der Quadraturformel entsprechen. |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Kann mir jemand von euch weiterhelfen?!
Belle
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:38 Mo 12.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Belle
> Beweisen Sie die folgende Aussage:
> Der Genauigkeitsgrad einer Quadraturformel auf einem
> Intervall I mit n+1 Knoten ist höchstens (2n + 1).
> (Gauß-Quadraturformeln sind also Quadraturformeln von
> maximaler Ordnung)
>
> Hinweis:
> Stellen Sie ein Polynom auf, das den Grad 2n+2 hat, dessen
> Integral über das Intervall I positiv ist und dessen
> Nullstellen genau den Knoten der Quadraturformel
> entsprechen.
Wie genau sieht die Quadraturformel aus?
Wie sieht ein allgemeines Polynom von Grad $2 n + 2$ aus?
Wenn du forderst, dass ein solches Polynom genau an den Knoten der Quadraturformel Nullstellen hat, was kommt dann als Wert heraus?
Wie genau ist das Polynom dadurch bestimmt? Sprich, wieviele Wahlmoeglichkeiten bleiben dir?
Wie sieht das Polynom aus, wenn du es exakt integrierst?
Kannst du jetzt etwas lineare Algebra mit den Koeffizienten (bzw den uebrigbleibenden Wahlmoeglichkeiten) betreiben?
LG Felix
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