Punktweise Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Ich habe mit einer Aufgabe Probleme. Man soll zeigen, dass die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n \in\IN} [/mm] mit [mm] f_n : I \rightarrow IR [/mm] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergent ist und soll den punktweisen Limes bestimmen.
Gleichmäßig konvergent heißt doch, dass man ein [mm] \epsilon [/mm] angeben kann, so dass die Funktion [mm] f_n(x) \rightarrow f(x) [/mm] für alle [mm] x \in\IR [/mm] mit [mm] \left| f_n(x) - f(x) \right| \le \epsilon [/mm] gilt. Oder hab ich da was falsch verstanden?
Und der Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist doch, einfach mal in Worten ausgedrückt, dass es kein [mm] \epsilon [/mm] gibt, so dass alle Funktionswerte in dieser Umgebung liegen, sondern dass man jeden Punkt einzeln betrachten muss, oder??
Falls ich total falsch liege, sagt es mir bitte.
Die Aufgabe an der ich verzweifle ist:
[mm] f_n(x) : = \bruch{nx}{1+\left|nx \right|} [/mm] für alle [mm] x \in\IR [/mm]
Ich hab schon irgendwie versucht die Defintion der punktweisen Konvergenz anzuwenden, jedoch komme ich da nicht wirklich weit mit.
Den punktweisen Limes sollen wir ja auch noch angeben, da hab ich mir folgendes überlegt: (bzw. einfach durch probieren herausgefunden)
[mm] \limes_{n \to \IR, x > 0}f_n(x) = 1 [/mm] und
[mm] \limes_{n \to \IR, x < 0}f_n(x) = - 1 [/mm]
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Danke schon mal im Vorraus.
Gruß Paige
|
|
| |
|
Hallo!
> Gleichmäßig konvergent heißt doch, dass man ein [mm]\epsilon[/mm]
> angeben kann, so dass die Funktion [mm]f_n(x) \rightarrow f(x)[/mm]
> für alle [mm]x \in\IR[/mm] mit [mm]\left| f_n(x) - f(x) \right| \le \epsilon[/mm]
> gilt. Oder hab ich da was falsch verstanden?
>
> Und der Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist doch,
> einfach mal in Worten ausgedrückt, dass es kein [mm]\epsilon[/mm]
> gibt, so dass alle Funktionswerte in dieser Umgebung
> liegen, sondern dass man jeden Punkt einzeln betrachten
> muss, oder??
Bei der punktweisen Konvergenz überprüfst du, wogegen des Folge [mm] $f_n(x_0)$ [/mm] konvergiert. Sie ist also abhängig vom Punkt [mm] $x_0$. [/mm] Also [mm] $\|f_n(x_0)-f(x_0)\|\to [/mm] 0$.
Bei der gleichmäßigen Konvergenz betrachtest du die Funktion als ganzes: [mm] $\|f_n-f\|_\infty:=\sup\limits_{x\in I}\{\|f_n(x)-f(x)\|\}\to [/mm] 0$.
> Den punktweisen Limes sollen wir ja auch noch angeben, da
> hab ich mir folgendes überlegt: (bzw. einfach durch
> probieren herausgefunden)
> [mm]\limes_{n \to \IR, x > 0}f_n(x) = 1[/mm] und
> [mm]\limes_{n \to \IR, x < 0}f_n(x) = - 1[/mm]
Das sieht doch schon ziemlich gut aus! Besonders gut sieht man das, wenn man die Funktion so umschreibt: [mm] $f_n(x)=\bruch{x}{1/n+|x|}$. [/mm] Der punktweise Limes ist also die Signumsfunktion!
Jetzt probier mal folgendes aus: Setze [mm] $x_n:=\bruch{1}{n}$. [/mm] Es gilt:
[mm] $\|f_n-\mathrm{sgn}\|_\infty\ge \|f_n(x_n)-\mathrm{sgn}(x_n)\|$...
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
|
