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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:47 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
im Algebra Buch vom Jantzen-Schwermer wird behauptet (ohne Beweis), dass die Bildung des Produkt-Ideals eine kommutative Operation ist,
d.h. für zwei Ideale $A, B$ aus einem Ring gilt stetst folgende Gleichheit : $AB=BA$. Dies soll auch in nicht-kommutativen Ringen der Fall sein.
Falls A und B Ideale in einem kommutativen Ring sind, ist die Gleichheit klar. Für nicht-kommutative Ringe bin ich am Beweis gescheitert (an der Konstruktion eines Gegenbeispieles allerdings auch ^^).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 19.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> im Algebra Buch vom Jantzen-Schwermer wird behauptet (ohne
> Beweis), dass die Bildung des Produkt-Ideals eine
> kommutative Operation ist,
> d.h. für zwei Ideale [mm]A, B[/mm] aus einem Ring gilt stetst
> folgende Gleichheit : [mm]AB=BA[/mm]. Dies soll auch in
> nicht-kommutativen Ringen der Fall sein.
Hmm, das ist eine gute Frage. Ich wuerde es spontan nicht glauben, aber ein Gegenbeispiel kann ich auch nicht praesentieren, dazu sind mir nicht-kommutative Ringe nicht gelaeufig genug (und das Standardbeispiel: Matrizen hat nicht wirklich genug Ideale um interessant zu sein).
Ich waer zumindest auch an einer "Loesung" interessiert. Und vielleicht hab ich demnaechst mal Zeit um selber intensiver drueber nachzudenken... :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 20.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> im Algebra Buch vom Jantzen-Schwermer wird behauptet (ohne
> Beweis), dass die Bildung des Produkt-Ideals eine
> kommutative Operation ist,
> d.h. für zwei Ideale [mm]A, B[/mm] aus einem Ring gilt stetst
> folgende Gleichheit : [mm]AB=BA[/mm]. Dies soll auch in
> nicht-kommutativen Ringen der Fall sein.
>
> Falls A und B Ideale in einem kommutativen Ring sind, ist
> die Gleichheit klar. Für nicht-kommutative Ringe bin ich am
> Beweis gescheitert (an der Konstruktion eines
> Gegenbeispieles allerdings auch ^^).
Die Aussage ist falsch !!
Betrachte die reellen 4x4 Matrizen
$A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
und
$B = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }$
[/mm]
Dann ist $AB=0$ und $BA = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Damit definieren wir den Ring [mm] \cal{R} [/mm] und die Ideale [mm] \cal{A}, \cal{B} [/mm] wie folgt:
[mm] \cal{R} [/mm] = [mm] \IR I_4 \oplus \IR$A$ \oplus \IR$B$ \oplus \IR$BA$,
[/mm]
[mm] \cal{A} [/mm] = { rA+sBA: r,s [mm] \in \IR [/mm] }, [mm] \cal{B} [/mm] = { tB+uBA: t,u [mm] \in \IR [/mm] }
Dann ist [mm] \cal{AB} [/mm] = {0} und [mm] \cal{BA} [/mm] = { vBA: v [mm] \in \IR [/mm] }
FRED
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