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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 06.02.2011 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | [mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] ( 1- [mm] \bruch{1}{i^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n}
[/mm]
Fuer n [mm] \ge [/mm] 2 |
Hallo, wie Schreibe ich mein Produkt hier veruenftig auf um den Fall fuer n=2 zu ueberpruefen ?
Eigentlich doch ( 1- [mm] \bruch{1}{2^2})*(( [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{3^2}) [/mm] oder nicht.. ?
Oder reicht es fuer i einfach 2 einzusetzen ?
lg
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> [mm]\produkt_{i=2}^{n}[/mm] ( 1- [mm]\bruch{1}{i^2})[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{2n}[/mm]
> Fuer n [mm]\ge[/mm] 2
>
>
> Hallo, wie Schreibe ich mein Produkt hier veruenftig auf
> um den Fall fuer n=2 zu ueberpruefen ?
> Eigentlich doch ( 1- [mm]\bruch{1}{2^2})*(([/mm] 1- [mm]\bruch{1}{3^2})[/mm]
> oder nicht.. ?
> Oder reicht es fuer i einfach 2 einzusetzen ?
>
>
> lg
> Flo
naja n=2, damit:
[mm]\produkt_{i=2}^{2} ( 1- \bruch{1}{i^2}) = 1-\bruch{1}{2^2}[/mm]
also ja, für i nur 2 einsetzen, da das Produkt von 2 nach 2 geht :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 06.02.2011 | | Autor: | Coup |
[mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] ( 1- [mm] \bruch{1}{i^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n}
[/mm]
Fuer n=2 stimmt .
[mm] n\mapsto [/mm] n+1 , [mm] \produkt_{i=2}^{n+1}( [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{i^2}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] ( 1- [mm] \bruch{1}{i^2})*( [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})
[/mm]
Bis hier verstehe ich noch
= [mm] \bruch{n+1}{2n} (\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}) [/mm]
Wie komme ich hier denn auf [mm] (\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}) [/mm] ?
[mm] =n(\bruch{n+2}{2n(n+1)})
[/mm]
Wieso faellt beim ausklammern bei n+1 das quadrat weg ?
[mm] =(\bruch{n+2}{2(n+1)}) [/mm]
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
$ [mm] \bruch{n+1}{2n}\cdot\left(\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}\right) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(n+1)(n^2+2n)}{2n(n+1)^2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n^2+2n}{2n(n+1)} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n(n+2)}{2n(n+1)} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm] $
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 06.02.2011 | | Autor: | Coup |
Oh das erklaert das [mm] n^2 [/mm] danke :)
Und wo kommt mein [mm] \bruch{n^2+2n}{(n+1)^2} [/mm] her ?
Ansonsten habe ich es soweit verstanden.
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch:
[mm] \produkt_{i=2}^{n+1}\left(1-\bruch{1}{i^2}\right) [/mm]
[mm] \blue{\produkt_{i=2}^{n}\left(1-\bruch{1}{i^2}\right)}\cdot\green{\produkt_{i=n+1}^{n+1}\left(1-\bruch{1}{i^2}\right)} [/mm]
[mm] \blue{\frac{n+1}{2n}}\cdot\green{\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)} [/mm]
[mm] \frac{n+1}{2n}-\frac{n+1}{2n}\cdot\frac{1}{(n+1)^{2}}\right) [/mm]
[mm] \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n(n+1)}\right) [/mm]
[mm] \frac{(n+1)^{2}}{2n(n+1)}-\frac{1}{2n(n+1)}\right) [/mm]
[mm] \frac{(n+1)^{2}-1}{2n(n+1)}\right) [/mm]
[mm] \frac{n^{2}+2n+1-1}{2n(n+1)}\right) [/mm]
[mm] \frac{n^{2}+2n}{2n(n+1)}\right) [/mm]
Versu8che vor allem mal die farbigen Schritte zu verstehen, das ist nämlich der eigentliche Induktionsschritt.
Marius
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