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Forum "Zahlentheorie" - Primitive roots modulo n
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Primitive roots modulo n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Fr 26.03.2010
Autor: Arcesius

Aufgabe
Show that there are exactly 6 integers n such that there are exactly 8 primitive roots modulo n

Hallo!

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe...

Also, schauen wir mal was da steht...

Ich muss also zeigen, dass es genau 6 Zahlen [mm] n_{1},...,n_{6} [/mm] gibt, so dass die Einheitengruppen [mm] (\IZ/n_{i}\IZ)^{\times} [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 6 jeweils von 8 Elementen erzeugt werden können.
Sehe ich das richtig?



Ich habe gefunden, dass die Anzahl primitiver Wurzeln mod n [mm] \varphi(\varphi(n)) [/mm] ist.. wenn ich dies aber nach n auflöse, bekomme ich mehr als nur 6 zahlen.. nämlich:

[mm] \varphi(\varphi(n)) [/mm] = 8 [mm] \Leftrightarrow [/mm] n [mm] \in \{25,31,32,33,34,40,44,48,50,60,62,66,70,72,78,84,90\} [/mm]

Wenn ich jetzt noch berücksichtige: n hat genau eine Primitivwurzel, wenn n = 1, 2, 4, [mm] p^{k}, 2p^{k} [/mm] für p prim, dann bleibt übrig:

n [mm] \in \{25,31,32,34,50,62\} [/mm]

Stimmt das so?


Danke für die Hilfe!

Grüsse, Amaro

        
Bezug
Primitive roots modulo n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 26.03.2010
Autor: T_sleeper


> Show that there are exactly 6 integers n such that there
> are exactly 8 primitive roots modulo n
>  Hallo!
>  
> Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe...
>
> Also, schauen wir mal was da steht...
>
> Ich muss also zeigen, dass es genau 6 Zahlen
> [mm]n_{1},...,n_{6}[/mm] gibt, so dass die Einheitengruppen
> [mm](\IZ/n_{i}\IZ)^{\times}[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 6 jeweils von 8
> Elementen erzeugt werden können.
> Sehe ich das richtig?
>  

Das stimmt so, vorausgesetzt du sagst noch, dass die Einheitengruppen jeweils von 8 paarweise verschiedenen Elementen erzeugt werden, oder einfach 8 Primitivwurzeln. Aber das hast du auch so gemeint, denke ich mal.

>
>
> Ich habe gefunden, dass die Anzahl primitiver Wurzeln mod n
> [mm]\varphi(\varphi(n))[/mm] ist.. wenn ich dies aber nach n
> auflöse, bekomme ich mehr als nur 6 zahlen.. nämlich:
>  
> [mm]\varphi(\varphi(n))[/mm] = 8 [mm]\Leftrightarrow[/mm] n [mm]\in \{25,31,32,33,34,40,44,48,50,60,62,66,70,72,78,84,90\}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt noch berücksichtige: n hat genau eine
> Primitivwurzel, wenn n = 1, 2, 4, [mm]p^{k}, 2p^{k}[/mm] für p
> prim, dann bleibt übrig:

Genau, denn nur wenn das gilt, ist die Einheitengruppe überhaupt zyklisch, hat also ein erzeugendes Element.

>  
> n [mm]\in \{25,31,32,34,50,62\}[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Ich habe deine ns jetzt nicht alle überprüft, die Argumentation ist aber korrekt.

>  
>
> Danke für die Hilfe!
>  
> Grüsse, Amaro

Grüße Sleeper

Bezug
        
Bezug
Primitive roots modulo n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Fr 26.03.2010
Autor: Arcesius

Danke, T-Sleeper :)

Grüsse, Amaro

Bezug
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