Positivität von Abbildungen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 So 07.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei [mm] \phi [/mm] >= 0 und [mm] -\phi>=0 [/mm] => [mm] \phi [/mm] =0 |
Beweis:
<v, [mm] \phi(v)> [/mm] >= 0
<v, - [mm] \phi(v) [/mm] > = - < v, [mm] \phi(v)> [/mm] >=0
Da [mm] \phi [/mm] selbstadjungiert,, sind das zwei reelle Zahlen.
-> <v, [mm] \phi(v)> [/mm] = 0
Wegen der Polarisierungsidentität < v, [mm] \phi(w)> [/mm] =0 für alle v,w [mm] \in [/mm] V
Wie folgt nun dass [mm] \phi [/mm] =0 ist?
Liebe grüße
|
|
| |
|
Hiho,
> Sei [mm]\phi[/mm] >= 0 und [mm]-\phi>=0[/mm] => [mm]\phi[/mm] =0
verwende doch bitte den Formeleditor, so kann das ja kein Mensch lesen!
Dann: Was soll [mm] \phi [/mm] überhaupt sein? Eine Abbildung von [mm] $V\to [/mm] V$ wie bei deinen anderen Aufgaben kann es ja kaum sein....
Und für eine Funktion, die nach [mm] \IR [/mm] abbildet, betrachte die Abbildung einfach für jedes Argument einzeln.
Warum das Skalarprodukt?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Mo 08.10.2012 | | Autor: | sissile |
Okay ich muss da doch ausholen ;)
V endlich dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum
[mm] \phi: [/mm] V-> linear heißt semi positiv defenit fall [mm] \phi^{\*}=\phi [/mm] (selbstadjungiert) und <v, [mm] \phi(v) [/mm] > [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V.
Wir schreiben dafür [mm] \phi \ge [/mm] 0
ZuZeigen:
Wenn [mm] \phi \ge [/mm] 0 und - [mm] \phi \ge [/mm] 0 dann muss [mm] \phi [/mm] =0 sein
[mm] \phi \ge [/mm] 0
bedeutet: <v , [mm] \phi(v)> \ge [/mm] 0
[mm] -\phi \ge [/mm] 0
bedeutet: <v, - [mm] \phi [/mm] (v)> [mm] \ge [/mm] 0
da billinear: <v, - [mm] \phi [/mm] (v)> = - <v , [mm] \phi(v)> \ge [/mm] 0
Da [mm] \phi [/mm] selbstadjungiert ist sind das jeweils reelle Zahlen
also gilt: <v , [mm] \phi(v)> [/mm] =0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
Nun hab ich mir die Polarisierungsidentität hergeonommen:
die ja nun besagt dass < v, [mm] \phi [/mm] (w) > = 0 für alle v,w [mm] \in [/mm] V
Der Schluss fehlt mir!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:51 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay ich muss da doch ausholen ;)
> V endlich dimensionaler euklidischer oder unitärer
> Vektorraum
> [mm]\phi:[/mm] V->
Du meinst wohl:
[mm]\phi:[/mm] V-> V
> linear heißt semi positiv defenit fall
> [mm]\phi^{\*}=\phi[/mm] (selbstadjungiert) und <v, [mm]\phi(v)[/mm] > [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V.
> Wir schreiben dafür [mm]\phi \ge[/mm] 0
>
> ZuZeigen:
> Wenn [mm]\phi \ge[/mm] 0 und - [mm]\phi \ge[/mm] 0 dann muss [mm]\phi[/mm] =0 sein
>
> [mm]\phi \ge[/mm] 0
> bedeutet: <v , [mm]\phi(v)> \ge[/mm] 0
>
> [mm]-\phi \ge[/mm] 0
> bedeutet: <v, - [mm]\phi[/mm] (v)> [mm]\ge[/mm] 0
> da billinear: <v, - [mm]\phi[/mm] (v)> = - <v , [mm]\phi(v)> \ge[/mm] 0
>
> Da [mm]\phi[/mm] selbstadjungiert ist sind das jeweils reelle Zahlen
> also gilt: <v , [mm]\phi(v)>[/mm] =0 [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
>
> Nun hab ich mir die Polarisierungsidentität hergeonommen:
> die ja nun besagt dass < v, [mm]\phi[/mm] (w) > = 0 für alle v,w
> [mm]\in[/mm] V
>
> Der Schluss fehlt mir!
Nimm w [mm] \in [/mm] V und setze [mm] v:=\phi(w)
[/mm]
FRED
|
|
|
|
