Polynomabbildung, Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es sei Vd der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich d mit reellen Koeffizienten. Es bezeichne p'(X)= [mm] \summe_{j=1}^{d} ja_{j}X^{j-1}
[/mm]
Edit by Marcel: Exponenten in geschweifte Klammern fassen: [mm] [nomm]$X^{j-1}$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $X^{j-1}$, [nomm]$X^j-1$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $X^j-1$!
[/mm]
die Ableitung des Polynoms p(X) = [mm] \summe_{j=1}^{d} a_{j}X^j.
[/mm]
Die lineare Abbildung f : V3 --> V3 sei durch
f(p(X))= p(X)-p'(X) gegeben.
a)Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.
b) Es seien B={1, x , [mm] x^2 [/mm] , [mm] x^3} [/mm] und E = {1, x-1, [mm] x^2 [/mm] - x , [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2} [/mm] zwei Basen von V3, geben sie die Matrix von f bezüglich B, E an. |
a) Injektivität f(x1)=f(x2) nur für x1=x2
Sei f(x1)=f(x2) mit x1, x2 [mm] \in [/mm] R
[mm] \summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{1}^j [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{1}^{j-1} [/mm]
= [mm] \summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{2}^j [/mm] -
[mm] \summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{2}^{j-1} [/mm]
also [mm] (a_{1}x_{1}^1-a_{1}x_{1}^0)+(a_{2}x_{1}^2- 2a_{2}x_{1}^1)
[/mm]
+ [mm] (a_{3}x_{1}^3- 3a_{3}x_{1}^2) [/mm] = [mm] (a_{1}x_{2}^1-a_{1}x_{2}^0)+(a_{2}x_{2}^2- 2a_{2}x_{2}^1)
[/mm]
+ [mm] (a_{3}x_{2}^3- 3a_{3}x_{2}^2)
[/mm]
[mm] a_{1}(x_{1}^1-x_{2}^1)+a_{2}(x_{1}^2-2x_{1}^1-x_{2}^2+2x_{2}^1)+ a_{3}(x_{1}^3-3x_{1}^2-x_{2}^3+3x_{2}^2)=0
[/mm]
Dies ist nur für das Nullpolynom und [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] erfüllt, also ist f injektiv.
Weil dim (V3) = dim (V3) < [mm] \infty [/mm] und f linear ist injektiv äquivalent zu bijektiv und f ist auch bijektiv.
b) Einsetzen der Basiselement für p(X) ergibt
[mm] A_{b}= [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] A_{e}= [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Ist das richtig? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei Vd der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder
> gleich d mit reellen Koeffizienten. Es bezeichne p'(X)=
> [mm]\summe_{j=1}^{d} ja_{j}X^j-1[/mm]
> die Ableitung des Polynoms
> p(X) = [mm]\summe_{j=1}^{d} a_{j}X^j.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die lineare Abbildung f
> : V3 --> V3 sei durch
> f(p(X))= p(X)-p'(X) gegeben.
>
> a)Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.
>
> b) Es seien B={1, x , [mm]x^2[/mm] , [mm]x^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und E = {1, x-1, [mm]x^2[/mm] - x ,
> [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2}[/mm] zwei Basen von V3, geben sie die Matrix von f
> bezüglich B, E an.
> a) Injektivität f(x1)=f(x2) nur für x1=x2
>
>
> Sei f(x1)=f(x2) mit x1, x2 [mm]\in[/mm] R
> [mm]\summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{1}^j[/mm] - [mm]\summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{1}^{j-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{2}^j[/mm] -
> [mm]\summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{2}^{j-1}[/mm]
> also [mm](a_{1}x_{1}^1-a_{1}x_{1}^0)+(a_{2}x_{1}^2- 2a_{2}x_{1}^1)[/mm]
>
> + [mm](a_{3}x_{1}^3- 3a_{3}x_{1}^2)[/mm] =
> [mm](a_{1}x_{2}^1-a_{1}x_{2}^0)+(a_{2}x_{2}^2- 2a_{2}x_{2}^1)[/mm]
>
> + [mm](a_{3}x_{2}^3- 3a_{3}x_{2}^2)[/mm]
>
> [mm]a_{1}(x_{1}^1-x_{2}^1)+a_{2}(x_{1}^2-2x_{1}^1-x_{2}^2+2x_{2}^1)+ a_{3}(x_{1}^3-3x_{1}^2-x_{2}^3+3x_{2}^2)=0[/mm]
>
> Dies ist nur für das Nullpolynom und [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] erfüllt,
> also ist f injektiv.
Was Du da oben treibst ist mir ein Rätsel !!
Für die Injektivität zeige: [mm] Kern(f)=\{0\}.
[/mm]
Es ist p(X) [mm] \in [/mm] Kern(f) [mm] \gdw [/mm] p(X)=p'(X). Zeige nun Du, dass p das Nullpolynom ist.
> Weil dim (V3) = dim (V3) < [mm]\infty[/mm] und f linear ist
> injektiv äquivalent zu bijektiv und f ist auch bijektiv.
>
> b) Einsetzen der Basiselement für p(X) ergibt
>
> [mm]A_{b}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> [mm]A_{e}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Ist das richtig? Vielen Dank.
Die Matrizen hast Du richtig berechnet.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe Dir Deine Formel korrigiert.
Gruß,
Marcel
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