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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Do 23.09.2004 | | Autor: | kamikaze |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hab mal eine generelle Frage zur Ermittlung von der Polstelle einer Funktion. Ist das die Nullstelle von den ermittelten Nullstellen des Zählers und Nenners einer Funktion, die sie nicht gemeinsam haben, wenn man das so salopp ausdrücken darf?
Danke!
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Hallo, kamikaze
Polstelle ist eine Nenner0stelle sofern dort nicht auch der Zähler 0 ist - dann muß der Grenzwert bestimmt werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Do 23.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kamikaze,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hab mal eine generelle Frage zur Ermittlung von der
> Polstelle einer Funktion. Ist das die Nullstelle von den
> ermittelten Nullstellen des Zählers und Nenners einer
> Funktion, die sie nicht gemeinsam haben, wenn man das so
> salopp ausdrücken darf?
> Danke!
>
Mit FriedrichLahers Antwort kann ich wenig anfangen, wenn ich sie richtig verstehe, ist sie sogar falsch:
FriedrichLaher: "Polstelle ist eine Nenner0stelle sofern dort nicht auch der Zähler 0 ist - dann muß der Grenzwert bestimmt werden."
Der Zähler kann 0 oder nicht sein, und trotzdem kann eine rationale Funktion eine Polstelle haben.
Eine Polstelle einer Funktion f ist ein "x-Wert" [mm] $x_p$ [/mm] für den folgendes gilt:
Es gibt ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so dass [mm] \limes_{x\to x_p} f(x)*\left(x-x_p\right)^n [/mm] existiert und [mm] $\not=0$ [/mm] ist.
In Worten:
Bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung an [mm] $x_p$ [/mm] gehen die Funktionswerte gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$.
[/mm]
Bemerkenswert daran:
- Polstellen gibt es nicht nur bei rationalen Funktionen, z.B. hat auch [mm] $\tan [/mm] x$ Polstellen.
- Für rationale Funktionen gilt folgendes (das meinte wahrscheinlich FriedrichLaher):
Wenn für die Zähler- und Nennerpolynome gilt: [mm] $z(x_p)\not=0$ [/mm] und [mm] $n(x_p)=0$, [/mm] dann hat die rationale Funktion [mm] $\bruch{z(x_p)}{n(x_p)}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_p$ [/mm] eine Polstelle.
Es gilt aber nicht: Wenn [mm] $z(x_p)=0$ [/mm] und [mm] $n(x_p)=0$, [/mm] dann hat [mm] $\bruch{z(x_p)}{n(x_p)}$ [/mm] keine Polstelle an der Stelle [mm] $x_p$ [/mm] (Beispiel: [mm] $\bruch{x^2}{x}$)
[/mm]
In diesem Fall untersucht man die Vielfachheiten von Zähler- und Nennernullstelle (Nullstellenordnung): Eine Polstelle liegt vor, wenn die Nullstellenordnung des Nenners größer als die des Zählers ist.
Praktisch könnte man dabei so vorgehen: Wenn [mm] x_p [/mm] Nullstelle von z und n ist, dann spaltet man (durch Polynomdivision) wiederholt den Linearfaktor [mm] $x-x_p$ [/mm] von z und n ab und kürzt diesen, bis [mm] x_p [/mm] keine gemeinsame Nullstelle mehr von Zähler und Nenner ist. Ist dann [mm] x_p [/mm] immer noch Nullstelle des Nenners, so haben wir eine Polstelle.
Bei Unklarheiten frage bitte unbedingt nach, ich liefere dann auch Beispiele 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:17 Fr 24.09.2004 | | Autor: | kamikaze |
Hallo Marc!
Vielen Dank schon mal für deine Ausführungen! Wenn du noch Beispiele dazu liefern könntest, wäre das sehr nett von dir.
Danke!
Gruß
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