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| Aufgabe | Schreiben Sie folgende Komplexe Zahlen jeweils in der Form a+bi.
1) [mm] \wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}} [/mm] |
Komm mit der Aufgabe bzw. mit der Lösung nicht klar.
Meine Varianten:
1)
z = [mm] \wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] e^{(3*\pi*i)/2}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] cos(3*\pi/2) [/mm] + [mm] i*sin(3*\pi/2)
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] = 0 -i
z = [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
2) Gleich wurzeln.
z = [mm] \wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}
[/mm]
z = [mm] e^{(3*\pi*i)/4}
[/mm]
z = [mm] cos((3*\pi*)/4) +i*sin((3*\pi*i)/4)
[/mm]
z = [mm] -1/\wurzel{2} [/mm] + [mm] i/\wurzel{2}
[/mm]
z = [mm] 1/\wurzel{2}(-1 [/mm] + i)
Die Lösung lautet:
[mm] \pm e^{i(-\pi/4)} [/mm] = [mm] \pm(\wurzel{2}-i*\wurzel{2})
[/mm]
Fragen:
- Welche ist die richtige Lösung?
- Wo habe ich Fehler gemacht?
- Stimmt ggf. die Lösung nicht?
Gruss Cyantific
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Do 16.06.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Schreiben Sie folgende Komplexe Zahlen jeweils in der Form
> a+bi.
>
> 1) [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> Komm mit der Aufgabe bzw. mit der Lösung nicht klar.
>
> Meine Varianten:
>
> 1)
> z = [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]e^{(3*\pi*i)/2}[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]cos(3*\pi/2)[/mm] + [mm]i*sin(3*\pi/2)[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = 0 -i
> z = [mm]\wurzel{-i}[/mm]
dieses Ergebnis ist falsch. Ich schätze, das liegt daran, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
>
> 2) Gleich wurzeln.
> z = [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> z = [mm]e^{(3*\pi*i)/4}[/mm]
> z = [mm]cos((3*\pi*)/4) +i*sin((3*\pi*i)/4)[/mm]
> z = [mm]-1/\wurzel{2}[/mm]
> + [mm]i/\wurzel{2}[/mm]
> z = [mm]1/\wurzel{2}(-1[/mm] + i)
Das stimmt.
>
> Die Lösung lautet:
>
> [mm]\pm e^{i(-\pi/4)}[/mm] = [mm]\pm(\wurzel{2}-i*\wurzel{2})[/mm]
Diese Gleichung stimmt nicht und hat auch nichts mir der Lösung der aufgabe zu tun.
>
> Fragen:
>
> - Welche ist die richtige Lösung?
> - Wo habe ich Fehler gemacht?
> - Stimmt ggf. die Lösung nicht?
>
>
> Gruss Cyantific
>
Gruß,
notinX
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Danke erstmal für die Antwort.
Zu Variante 1):
Müsste doch theoretisch gehen
z.B. [mm] z=(i-1)^{12}
[/mm]
--> [mm] \wurzel[12]{z} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*e^{3*\pi*i/4}
[/mm]
--> z = [mm] 64*e^{9*\pi*i}
[/mm]
Des weiter, wenn ich bei wolfram alpha [mm] \wurzel{-i} [/mm] und [mm] \wurzel{e^{3*\pi/2}}
[/mm]
eingebe kommt der gleiche Wert raus....
Zu Variante 2):
wär das ganze auch mit minus als Vorzeichen eine Lösung?
Gruss
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Hoy,
> 1. Variante und 2. Variante
ist dasselbe... du hättest ja auch direkt den Ausdruck ersetzen können ohne zu quadrieren und nochmals die Wurzel zu ziehen. Egal ist es vor allem weil du bei beiden Varianten so rechnest als ob es nur eine Lösung!
> variante 2
Was passiert wenn du die negative Lösung quadrierst?
> müsste doch theorertisch gehen
ja
Gruss
KushK
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> Schreiben Sie folgende Komplexe Zahlen jeweils in der Form
> a+bi.
>
> 1) [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> Komm mit der Aufgabe bzw. mit der Lösung nicht klar.
>
> Meine Varianten:
>
> 1)
> z = [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]e^{(3*\pi*i)/2}[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]cos(3*\pi/2)[/mm] + [mm]i*sin(3*\pi/2)[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] = 0 -i
> z = [mm]\wurzel{-i}[/mm]
>
> 2) Gleich wurzeln.
> z = [mm]\wurzel{e^{(3*\pi*i)/2}}[/mm]
> z = [mm]e^{(3*\pi*i)/4}[/mm]
> z = [mm]cos((3*\pi*)/4) +i*sin((3*\pi*i)/4)[/mm]
> z = [mm]-1/\wurzel{2}[/mm]
> + [mm]i/\wurzel{2}[/mm]
> z = [mm]1/\wurzel{2}(-1[/mm] + i)
>
> Die Lösung lautet:
>
> [mm]\pm e^{i(-\pi/4)}[/mm] = [mm]\pm(\wurzel{2}-i*\wurzel{2})[/mm]
>
> Fragen:
>
> - Welche ist die richtige Lösung?
> - Wo habe ich Fehler gemacht?
> - Stimmt ggf. die Lösung nicht?
>
>
> Gruss Cyantific
>
Die "Lösung" [mm] z=\sqrt{-i} [/mm] ist zwar nicht wirklich falsch,
aber sie hat jedenfalls nicht die gewünschte Form.
z = [mm]1/\wurzel{2}(-1[/mm] + i) ist eine der zwei möglichen Lösungen
der Gleichung [mm] z^2=-i [/mm] , ist aber so auch noch nicht
wirklich in der gewünschten Form.
[mm]\pm(\wurzel{2}-i*\wurzel{2})[/mm] ist falsch. Man müsste die Werte noch
halbieren.
Grundsätzlich ist noch zu sagen, dass man das Quad-
ratwurzelzeichen sinnvollerweise für komplexe Zahlen,
also [mm] \sqrt{a} [/mm] mit [mm] a\in\IC\smallsetminus\IR [/mm] überhaupt vermeiden und statt-
dessen von den Lösungen bzw. der Lösungsmenge
der Gleichung z=a sprechen sollte.
LG Al-Chw.
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