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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 19.05.2007 | | Autor: | raskul |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{sin(nx)sin(mx) dx}
[/mm]
bzw
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(nx)sin(mx) dx}
[/mm]
löse mit Hilfe der Additionstheoreme und mit part Integration |
Ich habe keine Ahnung wie ich die AddTheoreme da anwenden kann ohne wieder eine Rekursion in der partiellen Integration zu bekommen.
Bis jetzt komme ich immer wieder auf Teilterme mit [mm] \integral_{a}^{b}{sin(nx)sin(mx) dx} [/mm] oder [mm] \integral_{a}^{b}{cos(nx)cos(mx) dx}
[/mm]
Bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo raskul!
Mit Anwendung des Additionstheorem's [mm] $\cos(\alpha\pm\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)*\sin(\beta)$ [/mm] erhält man:
(1) [mm] $\cos[(m+n)*x] [/mm] \ = \ [mm] \cos(m*x)*\cos(n*x)-\sin(m*x)*\sin(n*x)$
[/mm]
(2) [mm] $\cos[(m-n)*x] [/mm] \ = \ [mm] \cos(m*x)*\cos(n*x)+\sin(m*x)*\sin(n*x)$
[/mm]
Subtrahiere hier die Gl. (1) von Gl. (2) und stelle nach [mm] $\sin(m*x)*\sin(n*x) [/mm] \ = \ ...$ um. Dann kann man das Integral direkt bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Sa 19.05.2007 | | Autor: | raskul |
Danke!
Ergebnis:
[mm] \integral_{}^{}{sin(mx)*sin(nx) dx}=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{cos(x(m-n))-cos(x(m+n)) dx}
[/mm]
nach Substitution von x(m+n) bzw x(m-n) folgt
[mm] \bruch{sin(x(m-n))}{2(m-n)}-\bruch{sin(x(m+n))}{2(m+n)}
[/mm]
Frage zur Neugier falls das noch jemand liest:
Gäbe es auch eine Möglichkeit dies zu berechnen ohne die Additionstheoreme anzuwenden?
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