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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Di 30.10.2012 | | Autor: | LK2010 |
| Aufgabe | Führen Sie eine Partialbruchzerlegung mit folgender Funktion durch:
F(x)= [mm] \bruch{8}{x+2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] |
Als erstes habe ich die Nullstellen gesucht, diese sind einfach zu finden mit: [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2}=-2, [/mm] wobei [mm] x_{1} [/mm] eine doppelte Nullstelle ist.
Nun starte ich mit der Zerlegung:
[mm] \bruch{8}{x+2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x^{2}}+\bruch{C}{x}
[/mm]
ich erweitere die Brüche, damit komme ich auf:
= [mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B+Cx}{x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{Ax^{2}}{(x+2)x^{2}}+\bruch{(B+Cx)(x+2)}{x^{2}(x+2)}
[/mm]
Nun multipliziere ich mit [mm] (x+2)x^{2} [/mm] und erhalte:
8 = [mm] Ax^{2}+(B+Cx)(x+2)
[/mm]
8 = [mm] Ax^{2}+ Bx+2B+Cx^{2}+C2x
[/mm]
Nun setzte ich die erste Nullstelle ein [mm] x_{1}=0
[/mm]
8 = [mm] A0^{2}+ B0+2B+C0^{2}+C20
[/mm]
8 = 2B
B = 4
Nun setzte ich die zweite Nullstelle [mm] x_{2} [/mm] = -2 ein:
8 = [mm] A(-2)^{2}+ -2B+2B+C(-2)^{2}+C*2(-2)
[/mm]
8 = 4A
A = 2
ich erhalte damit
[mm] \bruch{2}{x+2}+\bruch{4}{x^{2}}
[/mm]
Ist dies das richtig Ergebnis?
Ich verwende C ja gar nicht!?
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Hallo LK2010,
Du kannst doch leicht nachrechnen, dass das noch nicht reicht.
> Führen Sie eine Partialbruchzerlegung mit folgender
> Funktion durch:
> F(x)= [mm]\bruch{8}{x+2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> Als erstes habe ich die Nullstellen gesucht, diese sind
> einfach zu finden mit: [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}=-2,[/mm] wobei [mm]x_{1}[/mm]
> eine doppelte Nullstelle ist.
>
> Nun starte ich mit der Zerlegung:
>
> [mm]\bruch{8}{x+2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x^{2}}+\bruch{C}{x}[/mm]
>
> ich erweitere die Brüche, damit komme ich auf:
>
> = [mm]\bruch{A}{x+2}+\bruch{B+Cx}{x^{2}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{Ax^{2}}{(x+2)x^{2}}+\bruch{(B+Cx)(x+2)}{x^{2}(x+2)}[/mm]
>
> Nun multipliziere ich mit [mm](x+2)x^{2}[/mm] und erhalte:
> 8 = [mm]Ax^{2}+(B+Cx)(x+2)[/mm]
> 8 = [mm]Ax^{2}+ Bx+2B+Cx^{2}+C2x[/mm]
>
> Nun setzte ich die erste Nullstelle ein [mm]x_{1}=0[/mm]
> 8 = [mm]A0^{2}+ B0+2B+C0^{2}+C20[/mm]
So ein paar Multiplikationszeichen schaden nie. C20 liest sich halt nicht nach $C*2*0$.
> 8 = 2B
> B = 4
>
> Nun setzte ich die zweite Nullstelle [mm]x_{2}[/mm] = -2 ein:
> 8 = [mm]A(-2)^{2}+ -2B+2B+C(-2)^{2}+C*2(-2)[/mm]
> 8 = 4A
> A = 2
Bis hierhin ist alles gut.
> ich erhalte damit
> [mm]\bruch{2}{x+2}+\bruch{4}{x^{2}}[/mm]
>
> Ist dies das richtig Ergebnis?
> Ich verwende C ja gar nicht!?
Tja, über C hast Du noch keine Aussage getroffen, in der Tat. Jedenfalls kann C bei diesem Ansatz niemals "beliebig" sein, sondern hat immer einen festen Wert.
Du hattest die Gleichung
[mm] 8=Ax^2+Bx+2B+Cx^2+2Cx
[/mm]
Die muss nun für jedes x (im Definitionsbereich) erfüllt sein.
Setzen wir doch mal A=2 und B=4 ein:
[mm] 8=2x^2+4x+8+Cx^2+2Cx=(C+2)x^2+(4+2C)x+8
[/mm]
Also muss sowohl C+2=0 sein (der [mm] x^2-Term [/mm] muss eben für alle x wegfallen) also auch 4+2C=0 wegen der linearen Terme.
Das wird von C=-2 erfüllt. Sollten hier übrigens zwei unterschiedliche Werte auftauchen, dann hast Du vorher falsch gerechnet. Das ist hier aber nicht der Fall.
Also noch C=-2, und die komplette Partialbruchzerlegung ist dann:
[mm] \bruch{8}{x+2}*\bruch{1}{x^2}=\bruch{2}{x+2}+\bruch{4}{x^2}-\bruch{2}{x}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Di 30.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass es nicht das richtige Ergebnis ist kannst du leicht sehen, wenn du wieder auf den Hauptnenner bringst.
du hast ja nur 2 gleichungen, für die 3 Unbekannten benutzt!
du musst also noch ein weiteres x einsetzen
oder einfacher Koeffizientenvergleich:
absolutes glied =8 ergibt B=4 richtig. dann glieeder mit [mm] x^2=0 [/mm] ergibt A+C=0
glieder mit x =0 ergibt
B+2C=0
Gruss leduart
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