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Parameterdarstellung: Kurven/Kurvenintegrale
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Do 17.09.2009
Autor: blumich86

Aufgabe
Geben Sie für die skizzierte Kurve C zwei äquivalente Parameterdarstellungen an, d.h. zwei verschiedene PaDs, die die selbe Kurve beschreiben und bestimmen Sie den Anfangs- und Endpunkt. Handelt es sich um eine geschlossene Kurve?

die Frage habe ich noch in keinem anderen Forum gestellt,

einen schönen abend zusammen,

in der Musterlösung sind zwei zwei äquivalente Parameterdarstellungen gebene.

1) PaD 1: [mm] \overrightarrow{x}(t)=\vektor{1.5cost \\ 1.5sint}, [/mm] t [mm] \varepsilon [0,3/2\pi] [/mm]

2) PaD 2: [mm] \overrightarrow{x}(t)=\vektor{1.5cos(2t) \\ 1.5sin(2t)}, [/mm] t [mm] \varepsilon [0,3/4\pi] [/mm]

die erste PaD habe ich verstanden. bei der zweiten PaD verstehe ich allerdings nicht woher die 2 in cos(2t) und sin(2t) herkommt??? und kann nicht nachvollziehen warum aus [mm] 3/2\pi=3/4\pi [/mm] wird??

hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen
gruss blumich

        
Bezug
Parameterdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Do 17.09.2009
Autor: MathePower

Hallo blumich,

> Geben Sie für die skizzierte Kurve C zwei äquivalente
> Parameterdarstellungen an, d.h. zwei verschiedene PaDs, die
> die selbe Kurve beschreiben und bestimmen Sie den Anfangs-
> und Endpunkt. Handelt es sich um eine geschlossene Kurve?
>  die Frage habe ich noch in keinem anderen Forum gestellt,
>  
> einen schönen abend zusammen,
>  
> in der Musterlösung sind zwei zwei äquivalente
> Parameterdarstellungen gebene.
>  
> 1) PaD 1: [mm]\overrightarrow{x}(t)=\vektor{1.5cost \\ 1.5sint},[/mm]
> t [mm]\varepsilon [0,3/2\pi][/mm]
>  
> 2) PaD 2: [mm]\overrightarrow{x}(t)=\vektor{1.5cos(2t) \\ 1.5sin(2t)},[/mm]
> t [mm]\varepsilon [0,3/4\pi][/mm]
>  
> die erste PaD habe ich verstanden. bei der zweiten PaD
> verstehe ich allerdings nicht woher die 2 in cos(2t) und
> sin(2t) herkommt??? und kann nicht nachvollziehen warum aus
> [mm]3/2\pi=3/4\pi[/mm] wird??


Nun, hier wurde eine Parametertransformation vorgenommen.

Durch die Parametertransformation [mm]t=2u[/mm]
ergeben sich die Grenzen für u:

[mm]t_{2}=\bruch{3}{2}\pi=2*u_{2} \Rightarrow u_{2}=\bruch{3}{4}\pi[/mm]

[mm]t_{1}=0=2*u_{1} \Rightarrow u_{1}=0[/mm]

Somit ergibt sich die neue Kurve zu

[mm]\overrightarrow{x}(u)=\vektor{1.5cos(2u) \\ 1.5sin(2u)}, \ u \in \left[0,3/4\pi\right][/mm]

Jetzt benennen wir wieder u in t um,
und es ergibt sich die unter 2) genannte Parameterdarstellung.


>  
> hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen
> gruss blumich


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Parameterdarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Do 17.09.2009
Autor: blumich86

hallo,
vielen dank für deine schnelle antwort :))
heißt das, dass ich auch eine andere parametertransformation hätte nehmen können, sprich t=3u usw.???

Bezug
                        
Bezug
Parameterdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Do 17.09.2009
Autor: leduart

hallo
Ja! (oder noch kompliziertere! wie [mm] t=u^3 [/mm] auch wenns nicht sinnvoll ist)
Gruss leduart

Bezug
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