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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Sa 02.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir wollen die Orthogonalprojektion auf den Teilraum
W= [mm] <\vektor{3 \\ 3 \\6},\vektor{3 \\ 7 \\-2}>
[/mm]
von [mm] \IR^3 [/mm] bestimmen, wobei [mm] \IR^3 [/mm] mit standard inneren produkt versehen sei. |
Ich bestimme zunächst die Orthonormalbasis von W ( Gram-schmidt Orthonormalisierungsverfahren)
-> [mm] b_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \vektor{1\\ 1 \\2}
[/mm]
-> [mm] b_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{1\\ 3 \\-2}
[/mm]
Orthogonalprojektion p(v)= [mm]
Nun hat der Professor gemeint, dass p(v)= B [mm] B^t [/mm] v
wobei B = [mm] (b_1 [/mm] | [mm] b_2) [/mm] ist
Wie komme ich auf diese darstellung??
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Hallo sissile,
> Wir wollen die Orthogonalprojektion auf den Teilraum
> W= [mm]<\vektor{3 \\
3 \\
6},\vektor{3 \\
7 \\
-2}>[/mm]
> von [mm]\IR^3[/mm]
> bestimmen, wobei [mm]\IR^3[/mm] mit standard inneren produkt
> versehen sei.
> Ich bestimme zunächst die Orthonormalbasis von W (
> Gram-schmidt Orthonormalisierungsverfahren)
> -> [mm]b_1[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{6}} \vektor{1\\
1 \\
2}[/mm]
> -> [mm]b_2[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{1\\
3 \\
-2}[/mm]
>
> Orthogonalprojektion p(v)= [mm]
>
> Nun hat der Professor gemeint, dass p(v)= B [mm]B^t[/mm] v
> wobei B = [mm](b_1[/mm] | [mm]b_2)[/mm] ist
> Wie komme ich auf diese darstellung??
Das geht weil $<.,.>$ hier das Standard Innere Produkt ist. Du kannst einfach beide Formeln ausrechnen und sehen, dass sie dasselbe Ergebnis liefern:
[mm] $B^{T} \cdot [/mm] v = [mm] \begin{pmatrix}b_1^{T}\\ b_2^T\end{pmatrix} \cdot [/mm] v = [mm] \begin{pmatrix}b_1^T \cdot v\\ b_2^T \cdot v\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\\ \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wenn du jetzt noch das zweite Matrizenprodukt ausführst erhältst du
$B [mm] B^{T} [/mm] v = [mm] (b_1 [/mm] | [mm] b_2) \cdot \begin{pmatrix}\\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2$
[/mm]
und damit genau deine Orthogonalprojektion.
Es ist also nur "ausrechnen".
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 So 03.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Gram- Schmidt braucht man doch nicht !
Setze [mm] u_1:=\vektor{3 \\ 3 \\6} [/mm] und [mm] u_2:=\vektor{3 \\ 7 \\-2}.
[/mm]
Weiter sei [mm] u_3:=u_1 \times u_2
[/mm]
Dann ist [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] u_1 \perp u_3 [/mm] und [mm] u_2 \perp u_3.
[/mm]
Die gesuchte Projektion P ist dann gegeben durch:
[mm] P(u_1):=u_1, P(u_2):=u_2 [/mm] und [mm] P(u_3):=0
[/mm]
FRED
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