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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Man zeige: Sind die Ordnunfen der Elemente einer Gruppe [mm] \le [/mm] 2, so ist die Gruppe abelsch. |
Hallo,
als Lösung hatten wir in der Übung besprochen:
[mm] $\psi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G, a [mm] \mapsto a^2$
[/mm]
[mm] $\psi(ab) [/mm] = [mm] (ab)^2 [/mm] = 1 = [mm] a^2 [/mm] * [mm] b^2 [/mm] (wobei [mm] ~a^2, b^2 [/mm] = 1) [mm] \Rightarrow \psi(a) [/mm] * [mm] \psi(b) \Rightarrow$ [/mm] G abelsch
Dass G abelsch ist, folgt aus einem letzten Übungsblatt. Das Einzige, was ich nicht verstehe ist: Warum gilt [mm] $\psi(ab) [/mm] = [mm] (ab)^2 [/mm] = 1$
Viele Grüße,
Joan
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Hallo
> Man zeige: Sind die Ordnunfen der Elemente einer Gruppe [mm]\le[/mm]
> 2, so ist die Gruppe abelsch.
> Hallo,
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> als Lösung hatten wir in der Übung besprochen:
>
> [mm]\psi: G \to G, a \mapsto a^2[/mm]
>
> [mm]\psi(ab) = (ab)^2 = 1 = a^2 * b^2 (wobei ~a^2, b^2 = 1) \Rightarrow \psi(a) * \psi(b) \Rightarrow[/mm]
> G abelsch
>
> Dass G abelsch ist, folgt aus einem letzten Übungsblatt.
> Das Einzige, was ich nicht verstehe ist: Warum gilt
> [mm]\psi(ab) = (ab)^2 = 1[/mm]
Es ist ja [mm]\psi: a \mapsto a^2[/mm], also [mm]\psi(ab) = (ab)^2[/mm]
Da [mm]a \in G[/mm] und [mm]b \in G[/mm] folgt [mm]ab \in G[/mm]. Und da die Ordnung aller Elemente [mm]\le 2[/mm] ist, so insbesondere auch die Ordnung von [mm]ab[/mm]. Somit gilt entweder [mm]ab = 1[/mm] oder/und [mm](ab)^2 = 1[/mm].
Ist somit deine Frage beantwortet?
>
> Viele Grüße,
> Joan
>
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Joan2 |
Achso :) Vielen Dank für die gute Erklärung.
Gruß
Joan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Joan2 |
Mir ist doch eine Frage aufgekommen :(
Es heißt ja, dass die Ordnung [mm] \le [/mm] 2 ist. Dann müsste doch auch $ab = 2$ gelten?
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Hallo
> Mir ist doch eine Frage aufgekommen :(
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> Es heißt ja, dass die Ordnung [mm]\le[/mm] 2 ist. Dann müsste doch
> auch [mm]ab = 2[/mm] gelten?
Was meinst du mit $ab = 2$? Es gilt $Ord(ab) [mm] \le [/mm] 2$.
Was soll denn $ab = 2 [mm] \in [/mm] G$ bedeuten?
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Joan2 |
Ich dachte $ab = 1$ kommt daher, weil gilt, dass die Ordnung [mm] \le [/mm] 2 ist. Und da kleiner gleich ist, müsste doch auch ab = 2 gelten?
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Hallo
> Ich dachte [mm]ab = 1[/mm] kommt daher, weil gilt, dass die Ordnung
> [mm]\le[/mm] 2 ist.
Genau. Mit 1 wird das neutrale Element bezeichnet.. wenn du es dir anders gewohnt bist (vielleicht heisst bei euch das neutrale Element [mm]e[/mm]), kannst du auch schreiben [mm]ab = e[/mm] (oder/und [mm](ab)^2 = e[/mm]).. Es ist nur ne Frage der Bezeichnung des neutralen Elements.. aber die 1 steht hier nicht für die 1 aus de natürlichen Zahlen, das sollte dir klar sein.
> Und da kleiner gleich ist, müsste doch auch
> ab = 2 gelten?
Nein. Kennst du denn die Definition der Ordnung eines Elements?
Wenn [mm]a \in G[/mm], dann ist die Ordnung von [mm]a[/mm] in [mm]G[/mm] das kleinste [mm]n \in \mathbb{N}[/mm], so dass [mm]a^{n} = e[/mm] (oder = 1, je nach Bezeichnung).
Aber, dass das neutrale Element mit [mm]1[/mm] bezeichnet wird ist nur eine Konvention.. aber da du es mit einer beliebigen Gruppe zu tun hast (mit gewissen Bedingungen), kannst du ja nicht wissen, ob [mm]2 \in G[/mm]..
Das neutrale Element ist aber immer in ner Gruppe drin. Somit gilt [mm]1 \in G[/mm] für jede beliebige Gruppe [mm]G[/mm].
Ich hoffe, deine Verwirrung löst sich langsam auf.. :)
Grüsse, Amaroi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Joan2 |
Juhuu, Verwirrung gelöst [mm] \o/ [/mm]
Danke ^^
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