Notationsproblem < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Integriere: [mm] $\integral_0^{\frac{\pi}{2}} cos(x)\sqrt{sin(x)}dx$ [/mm] |
Integriere: [mm] $\integral cos(x)\sqrt{sin(x)}dx [/mm] = [mm] \integral [/mm] cos(x) [mm] sin(x)^{\frac{1}{2}} [/mm] = ...
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Sub.: [mm] $u=sin(x)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}sin(x)^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow dx=\frac{du}{\frac{1}{2}sin(x)^{-\frac{1}{2}}\cdot cos(x)}=\frac{2\sqrt{sin(x)}}{cos(x)}du [/mm] = [mm] \frac{2u}{cos(x)}du$
[/mm]
$... = [mm] \integral [/mm] cos(x) [mm] \cdot \frac{2u}{cos(x)} [/mm] du = [mm] \integral 2u^2 [/mm] du = [mm] 2\integral u^2 [/mm] du = [mm] 2\cdot \frac{1}{3}u^3$
[/mm]
Resub.: [mm] $\frac{2}{3}((sin(x))^{\frac{1}{3}})^3 [/mm] = [mm] \frac{2}{3} \cdot (sin(x))^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)}$
[/mm]
Da ich ja jetzt fertig unbetimmt Integriert hab, muss ich ja noch die Grenzen einsetzen. Wie aber notiere ich das jetzt? Ich hab das bei mir auf dem Blatt einfach mal so gemacht (mit einem Folgepfeil):
[mm] $\Rightarrow \left[ \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(\frac{\pi}{2})} [/mm] - [mm] \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(0)} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
Darf man das so machen? Ich meine jetzt auch die Substitution? Ich hab ja hier quasi die Integration auf einmal mit der Substitution unterbrochen und dann einfach weitergemacht. usw usf...
|
|
| |
|
Moin bandchef,
> Integriere: [mm]\integral_0^{\frac{\pi}{2}} cos(x)\sqrt{sin(x)}dx[/mm]
>
> Integriere: [mm]$\integral cos(x)\sqrt{sin(x)}dx[/mm] = [mm]\integral[/mm]
> cos(x) [mm]sin(x)^{\frac{1}{2}}[/mm] = ...
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Sub.: [mm]u=sin(x)^{\frac{1}{2}}[/mm]
Du hättest auch [mm] u:=\sin(x) [/mm] substituieren können, dann hätte die Rechnung etwas 'schöner' ausgesehen. 
> [mm]\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}sin(x)^{-\frac{1}{2}}\red{\cos(x)}\Rightarrow dx=\frac{du}{\frac{1}{2}sin(x)^{-\frac{1}{2}}\cdot cos(x)}=\frac{2\sqrt{sin(x)}}{cos(x)}du = \frac{2u}{cos(x)}du[/mm]
>
> [mm]... = \integral cos(x) \cdot \frac{2u}{cos(x)} du = \integral 2u^2 du = 2\integral u^2 du = 2\cdot \frac{1}{3}u^3[/mm]
>
> Resub.: [mm]\frac{2}{3}((sin(x))^{\frac{1}{3}})^3 = \frac{2}{3} \cdot (sin(x))^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da ich ja jetzt fertig unbetimmt Integriert hab, muss ich
> ja noch die Grenzen einsetzen. Wie aber notiere ich das
> jetzt? Ich hab das bei mir auf dem Blatt einfach mal so
> gemacht (mit einem Folgepfeil):
>
> [mm]\Rightarrow \left[ \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(\frac{\pi}{2})} - \frac{2}{3}\sqrt{sin^3(0)} = \frac{2}{3}[/mm]
Alles bestens!
>
> Darf man das so machen? Ich meine jetzt auch die
> Substitution? Ich hab ja hier quasi die Integration auf
> einmal mit der Substitution unterbrochen und dann einfach
> weitergemacht. usw usf...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Das fehlende cos(x) steht auf meinem Blatt. Das hab anscheinend nur vergessen abzutippen...
Danke, dann kann ich das ja mal wieder als Erfolg verbuchen 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm. Noch eine Frage.
Nachdem ich unbestimmt Integriert habe, muss ich ja eigentlich eine Integrationskonstante c anhängen. Also sieht doch dass dann so aus: [mm] $\frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)}+c$ [/mm]
Wie ist das dann wenn ich die Grenzen einsetze? Denn dann müsste ich ja noch Werte für c haben, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Hm. Noch eine Frage.
>
> Nachdem ich unbestimmt Integriert habe, muss ich ja
> eigentlich eine Integrationskonstante c anhängen. Also
> sieht doch dass dann so aus: [mm]\frac{2}{3}\sqrt{sin^3(x)}+c[/mm]
Ja, aber nur für die unbestimmte, wenn du mit Grenzen rechnest, fällt die Konstante ja weg:
>
> Wie ist das dann wenn ich die Grenzen einsetze? Denn dann
> müsste ich ja noch Werte für c haben, oder?
[mm] $\int\limits_a^b{f(x) \ dx}=\left[F(x)+c\right]_a^b=F(b)+c-(F(a)+c)=F(b)-F(a)$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
