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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Notation Zufallsvariablen
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Notation Zufallsvariablen: Erläuterung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 So 08.09.2019
Autor: FidelerBudenzauber

Aufgabe
Gegeben: Einfache, realisierte Zufallsstichprobe [mm] (x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] aus einer zur Zufallsgröße X gehörenden Grundgesamtheit.

Jetzt werden eine Reihe unabhängiger Versuche mit mit Zurücklegen durchgeführt. X ist diskret und beschriebt die Anzahl Misserfolge vor dem ersten Erfolg. X ist also geometrisch verteilt..

Die Einzelwahrscheinlichkeit ist P(X=k) = [mm] p(1-p)^k, [/mm] k = 0,1,2

Die Likelihood-Funktion für p ist aufzustellen (soll nur als Beispiel dienen).

Hallo!

Ich komme bei der Notation von Zufallsvariablen durcheinander.

X = Anzahl Misserfolge vor dem ersten Erfolg

Mögliche Realisationen: (1,4,2,3,4,5...)
Als Variablen: [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, [/mm] ...)

Die Likelihood-Funktion ist:

L(p) = [mm] \produkt_{i=1}^{n}f_{X_i}(p) [/mm]

Hier steht ja ein großes [mm] X_i [/mm] als Index von f. Was genau ist jetzt der Unterschied zwischen dem X und den [mm] X_1, X_2, [/mm] usw.?

Im Moment verstehe ich es so:
X = Anzahl der Misserfolge
[mm] X_1 [/mm] = Anzahl der Misserfolge beim ersten Versuch
[mm] x_1 [/mm] = Die eigentliche Anzahl

Also müsste man eigentlich schreiben [mm] (X_1 [/mm] = [mm] x_1, X_2 [/mm] = [mm] x_2, [/mm] ...) usw.

Ich verstehe die Verwendung von [mm] X_i [/mm] nicht ganz.

Wenn ich 5mal aus einer Urne ziehe/irgendwas messe/5 Menschen befrage, dann sind das jeweils 5 Zufallsversuche, die ich mit [mm] X_1 [/mm] bis [mm] X_5 [/mm] bezeichnen würde. Deren jeweilige Realisationen sind [mm] x_i. [/mm] Und das X ohne Index fasst das noch mal zusammen?

Und wenn ich 5mal aus einer Urne ziehe UND 5 Menschen befrage, dann wäre das einmal X und einmal Y, weil es zwei getrennte Versuche sind.

Oder anders:

"Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen" wird geschrieben als [mm] (X_n). [/mm]

Die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen wir geschrieben als Z = X + Y. Warum nicht als Z = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2? [/mm]


        
Bezug
Notation Zufallsvariablen: Likelihood-Schätzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 08.09.2019
Autor: Infinit

Hallo FidelerBudenzauber,
ich versuche hier einmal, ein bisschen Licht in diese Schreibweisen zu bringen. Ich persönlich habe sie vor gut 36 Jahren auch noch anders erlebt, es gab damals kein Satzsystem und alles musste irgendwie mit der Schreibmaschine rübergebracht werden.
Zunächst einmal noch ein paar Worte zur Likelihood-Funktion. Diese setzt man ein, um aus den Ergebnissen von Stichproben möglichst gut auf den oder die unbekannten Parameter einer  Dichte- oder Verteilungsfunktion zu schließen, die man sich selbst vorgibt. Hintergrund der Geschichte ist der einleuchtende Grund, dass ich bei der Schätzung der Parameter für eine Verteilung nicht unendlich viele Versuche durchführen kann, ich möchte aber mit den Ergebnissen der Stichproben möglichst nahe an die Kennwerte der unbekannten Verteilung kommen, die ich aber, da ich nur eine Stichprobe besitze, nur schätzen kann.

Jetzt beginnt das Dilemma mit den Notationen und ich kann hier nur meinen Senf dazugeben. Ich kenne die Beschreibung so, dass das statistische Ereignis mit kalligrapischen Zeichen dargestellt wird, die dazugehörige Zufallsvariable in Großbuchstaben, der Wert dieser Variablen wiederum wird kleingeschrieben. Kurz also mit P(von etwas) als
$ P(A = b) = [mm] a_b [/mm] $.
In Deinem Beispiel wäre dann [mm] X [/mm] die unbekannte Grundgesamtheit, die man durch mehrmaliges Ziehen schätzen möchte und dabei treten die Ergebnisse [mm] x_1, x_2, x_3, \dots [/mm] auf, wobei jedes dieser Ergebnisse zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört.  Da all diese Versuche unabhängig voneinander sind, multiplizieren sich ihre Dichteverteilungen und ergeben so die Likelihood-Funktion als Funktion von p. Da mit solchen Produkten nicht schön zu rechnen ist, logarithmiert man gerne diese Funktionen (das ändert nichts an der Maximumbestimmung durch die Likelihood-Schätzung) und so wird aus dem Produkt eine Summe. Das ist deutlich einfacher zu handhaben.

In meiner Motation hätte ich dann geschrieben:
[mm] L (p) = \produkt_{i=1}^{n} f_p (x_i) [/mm]
Damit ist, so hoffe ich, ewas mehr Licht da, und Deine letzte Frage kannst Du selbst beantworten. Ob man eine Zufallsvariable als [mm] X_1 [/mm] oder als [mm] Y [/mm] bezeichnet, das ist einfach Definitionssache.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Notation Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mi 11.09.2019
Autor: FidelerBudenzauber

Hallo Infinit!

Vielen Dank schon mal für deine Antwort.

Also das mit der Grundgesamtheit hat mich total verwirrt. Wie sieht denn die Grundgesamtheit hier aus? Einfach die Zahlen 0,1,2,..., die die Exponenten in der Dichtefunktion sind?

Und dann der nächste Punkt:

"wobei jedes dieser Ergebnisse zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört."

Also wenn ich ein konkretes Ergebnis habe, z. B. (2,4,3,5,6), dann sind das nicht 5 Realisationen der Zufallsgröße X, sondern eigentlich 5 getrennte Realisationen, die jeweils geometrisch verteilt sind? Also habe ich hier eigentlich 5 Zufallsvariablen, für jede Stufe des Experiments eine? Und die nenne ich dann [mm] X_1, X_2 [/mm] etc. oder A, B, C, ...

Oder ein anderes Beispiel:

Ich befrage Leute, ob sie Vegetarier (V) oder nicht (NV) sind und bekommen folgendes Ergebnis:

V, NV, V, V, NV... dann muss ich quasi jede Frage als eigene Zufallsvariable ansehen, die als Wert V/NV haben kann und die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich dann als Multiplikation (bei Unabhängigkeit)... Und jetzt kann ich das so darstellen [mm] (X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) [/mm] oder so (X,Y,Z,A,B) Und das konkrete Ergebnis wäre dann [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) [/mm] bzw. (x,x,z,a,b).

D. h. wenn ich z. B. mit 2 Würfeln würfle, dann kommt ja mit einer P von 1/36 bei beiden 6 raus. Wenn ich jetzt sage P(X = (6|6)) = 1/36 ist das eigentlich etwas unsauber oder? Wel die 1/36 kommt ja schon durch das Produkt zweier Zufallsvariablen zustande: A = Augensumme Würfel 1, B = Augensumme Würfel 2.



Bezug
                        
Bezug
Notation Zufallsvariablen: Statistik
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 12.09.2019
Autor: Infinit

Hallo FidelerBudenzauber,
ich gebe gerne zu, dass die Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie etwas gewöhnungsbedürftig sind, Man muss sich an sie gewöhnen. Der Begriff der Grundgesamtheit ist einfach dadurch definiert, dass er alle möglichen Ereignisse eines Zufallsversuches enthält und jetzt kommt es darauf an, wie denn dieser Versuch überhaupt definiert ist. In deinem Beispiel geht es doch darum, dass eine ganze Menge von Tests durchgeführt wird und ein Test ist dann abgeschlossen, wenn eine bestimmte Anzahl von Misserfolgen einem Erfolg vorausgeht. Man denkt da natürlich sofort ans Würfeln, auch wenn dies nicht so explizit in der Aufgabe genannt ist. Was denn das Ereignis des Zufallsversuches sein soll, das zur Beendigung des Tests führt, das ist nicht explizit in deiner Aufgabe bestimmt. Es könnte beispielsweise das Würfeln einer "5" sein. Sobald diese auftritt, ist der Test abgeschlossen und es interessiert einfach die Frage, wieviele "Fehlwürfe" vor dem Auftreten dieser "5" stattgefunden haben. Diese Anzahl ist jedoch nach deiner Aufgabenstellung nicht beliebig, sondern sie beträgt 0, 1, oder 2 (siehe den Parameter k an). Für keinen, einen oder zwei "Fehlwürfe" hast Du die Einzelwahrscheinlichkeit gegeben, die einzelnen Tests sind unabhängig voneinander und so multipliziert sich ihre Auftretenswahrscheinlichkeit. Mit diesen Werten lässt sich die Likelihood-Funktion bestimmen und damit auch Erwartungswerte, Varianzen usw. Bis hierhin ist es reine Mathematik, die zu einem gewissen Ergebnis führt.
Führt Du mun eine bestimmte Anzahl von Tests aus und schreibst die Ergebnisse dazu auf, dann lässt sich aufgrund der Ergebnisse eine Verteilung der Ereignisse bestimmen und nun kann man feststellen, ob die durch die Likelihood-Funktion gegebene Verteilung der durch das Experiment gegebenen Verteilung entspricht oder nicht. Das Ergebnis wird nie hundertprozentig gleich sein, aber unter der Voraussetzung, dass das zugrunde gelegte Modell okay ist, sollte sich die durch das Experiment erzeugte Verteilung und die durch die Likelihood-Funktion bestimmte Verteilung annähern, je mehr Tests man durchführt.

Das von Dir genannte Beispiel (2,3,4,5,6) würde bedeuten, dass Du den Test beendest, wenn eine 6 geworfen wurde. Das Beispiel gehört jedoch nicht zur erlaubten Grundgesamtheit, da hier vier "Fehlwürfe" der 6 vorausgehen, zwei aber nur maximal erlaubt sind (k=2). Unter der Randbedingung, dass maximal zwei "Fehlwürfe" erlaubt sind, müsste man dieses Testergebnis verwerfen und nicht weiter berücksichtigen.
Jetzt höre ich erst mal auf, aber ich hoffe, es ist einiges klarer geworden.
Viele Grüße und einen schönen Abend noch,
Infinit

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