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Ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, wozu ich in keinem Mathebuch etwas finde (auch das Internet war bis jetzt nicht sehr hilfreich).
Bestimme in ([mm] \IZ [/mm]/[8], [mm]\oplus[/mm]) die Linksnebenklassen zu den Untergruppen U1={[0],[4]} und U2={[0],[2],[4],[6]}.
Ich habe keine Ahnung, wie man hier vorgeht.
Was versteht man unter ([mm] \IZ [/mm]/[8], [mm]\oplus[/mm])?
Wäre super, wenn es mir jemand ins Deutsche übersetzen könnte. ;) Also mit Zahlenbeispielen.
Dankeschön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Lila_Leela,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, wozu ich in keinem
> Mathebuch etwas finde (auch das Internet war bis jetzt
> nicht sehr hilfreich).
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> Bestimme in ([mm] \IZ [/mm]/[8], [mm]\oplus[/mm]) die Linksnebenklassen zu
> den Untergruppen U1={[0],[4]} und U2={[0],[2],[4],[6]}.
>
> Ich habe keine Ahnung, wie man hier vorgeht.
> Was versteht man unter ([mm] \IZ [/mm]/[8], [mm]\oplus[/mm])?
> Wäre super, wenn es mir jemand ins Deutsche übersetzen
> könnte. ;) Also mit Zahlenbeispielen.
Unter [mm] $\IZ_8$ [/mm] versteht man zunächst die Menge dieser 8 Äquivalenzklassen:
[mm] $[0]=\{\ldots,-24,-16,-8,0,8,16,24,\ldots\}$ [/mm] (die Menge aller Zahlen aus [mm] $\IZ$, [/mm] die bei der Division durch 8 den Rest 0 lassen)
[mm] $[1]=\{\ldots,-23,-15,-7,1,9,17,25,\ldots\}$ [/mm] (die Menge aller Zahlen aus [mm] $\IZ$, [/mm] die bei der Division durch 8 den Rest 1 lassen)
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $[7]=\{\ldots,-17,-9,-1,7,15,23,31,\ldots\}$ [/mm] (die Menge aller Zahlen aus [mm] $\IZ$, [/mm] die bei der Division durch 8 den Rest 7 lassen).
Diese 8 Elemente bilden auf natürliche Weise wieder eine Gruppe. Die Verknüpfung ist definiert als [mm] $[a]\oplus[b]:=[a+b]$ [/mm] (z.B. [mm] $[1]\oplus [/mm] [3]=[1+3]=[4]$).
(Dass das wohldefiniert ist, liegt daran, dass man durch Addition einer Zahl, die bei der Division durch 8 den Rest 1 läßt und einer Zahl, die bei der Division durch 8 den Rest 3 läßt, eine Zahl erhält, die bei der Division durch 8 den Rest 4 läßt (z.B. 9+83=92))
Übrigens bezeichnet $[1]$ (natürlich) dieselbe Äquivalenzklasse wie z.B. $[9]$ oder $[17]$: $[1]=[9]=[17]$.
Deine [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] bilden auf die gleiche Weise Gruppen; da beiden Mengen Teilmengen von [mm] $\IZ_8$ [/mm] sind, ist nur die Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung zu zeigen.
Die Linksnebenklassen sind nun Elemente, die diese formale Darstellungen haben:
[mm] $[x]\oplus U_1$ [/mm] mit [mm] $x\in\{0,1,\ldots,7\}$
[/mm]
also
[mm] $[0]\oplus U_1$
[/mm]
[mm] $[1]\oplus U_1$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $[7]\oplus U_1$
[/mm]
Hier kannst du dir ja mal überlegen (und das ist gerade die Aufgabe hier) wie viele unterschiedliche Linksnebenklassen es überhaupt gibt bzw. welche dieser 8 Linksnebenklassen äquivalent sind.
Ein Beispiel: Identisch sind [mm] $[0]\oplus U_1\equiv [4]\oplus U_1$, [/mm] doch warum nur? 
Frag' ruhig nach, wenn etwas unklar geblieben sein sollte.
Viele Grüße,
Marc
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Also komme ich zu folgenden Linksnebenklassen von U1:
{[0],[4]}
{[1],[5]}
{[2],[6]}
{[3],[7]}
Und bei U2 zu:
{[0],[2],[4],[6]}
{[1],[3],[5],[7]}
Richtig?
Riesengroßes Dankeschön!
Und noch zwei klitzekleine Fragen:
- Zählt {[0],[4]} und {[0],[2],[4],[6]} dazu? (Weil es ja das gleiche ist, wie U1 bzw. U2?)
- Wie schreib ich es "mathematisch korrekt" hin?
Einfach nur Linksnebenklassen: {[...]}, {[...]},...?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Lila Leela (könnte der Anfang eines 80er Popsongs sein),
> Also komme ich zu folgenden Linksnebenklassen von U1:
> {[0],[4]}
> {[1],[5]}
> {[2],[6]}
> {[3],[7]}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und bei U2 zu:
> {[0],[2],[4],[6]}
> {[1],[3],[5],[7]}
> Richtig?
Perfekt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Riesengroßes Dankeschön!
>
> Und noch zwei klitzekleine Fragen:
>
> - Zählt {[0],[4]} und {[0],[2],[4],[6]} dazu? (Weil es ja
> das gleiche ist, wie U1 bzw. U2?)
Ja, jede Untergruppe ist eine Nebenklasse von sich selbst.
> - Wie schreib ich es "mathematisch korrekt" hin?
>
> Einfach nur Linksnebenklassen: {[...]}, {[...]},...?
![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]") (ich sehe nicht, warum nicht)
Liebe Grüße
Julius
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