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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mi 26.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] a\in\IR
[/mm]
Bestimmen Sie mittels Mittelwertsatz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}} [/mm] |
Hey,
ich kreig das für die Aufgabe irgendwie nicht gebacken, hier meine Ansätze
Ich definiere:
[mm] f:[0,a^{2}] \mapsto \IR_{>0} [/mm] mit [mm] f(x):=\wurzel[3]{n^{2}+x}
[/mm]
Und f ist stetig auf [mm] [0,a^{2}], [/mm] da [mm] f(x)=\wurzel[3]{h(x)} [/mm] ist und [mm] h(x)=x+n^{2} [/mm] stetig ist und die 3te Wurzel davon für den Def.bereich auch stetig ist.
Außerdem ist f diff'bar auf [mm] ]0,a^{2}[, [/mm] da h(x) diffbar ist und seine 3te Wurzel dann auch auf dem Def.bereich.
Dann folgt nach dem MWS:
[mm] \exists\psi\in ]0,a^{2}[ [/mm] :
[mm] f'(\psi)=\bruch{f(x)-f(0)}{(x-0)})=\bruch{\wurzel[3]{n^{2}+x}-\wurzel[3]{n^{2}}}{(x-0)})
[/mm]
Nun stellen wir ein bisschen um:
[mm] (x-0)f'(\psi)=f(x)-f(0)=\wurzel[3]{n^{2}+x}-\wurzel[3]{n^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw x*f'(\psi)=x* \bruch{1}{3(n^{2}+\psi)^{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen sollte und glaube auch ich habe schon einige Fehler bis jetzt gemacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]a\in\IR[/mm]
> Bestimmen Sie mittels Mittelwertsatz
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}[/mm]
> Hey,
> ich kreig das für die Aufgabe irgendwie nicht gebacken,
> hier meine Ansätze
>
> Ich definiere:
> [mm]f:[0,a^{2}] \mapsto \IR_{>0}[/mm] mit
> [mm]f(x):=\wurzel[3]{n^{2}+x}[/mm]
>
> Und f ist stetig auf [mm][0,a^{2}],[/mm] da [mm]f(x)=\wurzel[3]{h(x)}[/mm]
> ist und [mm]h(x)=x+n^{2}[/mm] stetig ist und die 3te Wurzel davon
> für den Def.bereich auch stetig ist.
>
> Außerdem ist f diff'bar auf [mm]]0,a^{2}[,[/mm] da h(x) diffbar ist
> und seine 3te Wurzel dann auch auf dem Def.bereich.
>
> Dann folgt nach dem MWS:
> [mm]\exists\psi\in ]0,a^{2}[[/mm] :
> [mm]f'(\psi)=\bruch{f(x)-f(0)}{(x-0)})=\bruch{\wurzel[3]{n^{2}+x}-\wurzel[3]{n^{2}}}{(x-0)})[/mm]
>
> Nun stellen wir ein bisschen um:
> [mm](x-0)f'(\psi)=f(x)-f(0)=\wurzel[3]{n^{2}+x}-\wurzel[3]{n^{2}}[/mm]
> [mm]\gdw x*f'(\psi)=x* \bruch{1}{3(n^{2}+\psi)^{\bruch{2}{3}}}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen sollte und
> glaube auch ich habe schon einige Fehler bis jetzt
> gemacht.
Die Ansätze waren schon mal brauchbar !
Zunächst ist der Fall a=0 klar.
Wir können also a [mm] \ne [/mm] 0 annehmen.
Setze [mm] f_n(x)= \wurzel[3]{n^2+x^2}
[/mm]
Dann:
[mm] \wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}} [/mm] = [mm] f_n(a)-f_n(0)
[/mm]
Nach dem MWS ex. ein [mm] \xi= \xi(n) [/mm] zwischen 0 und a mit:
[mm] \wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}} [/mm] = [mm] f_n(a)-f_n(0)= f_n'(\xi)*a
[/mm]
Nun überzeuge Dich davon, dass [mm] $f_n'(\xi) \to [/mm] 0$ für $ n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mi 26.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Zunächst ist der Fall a=0 klar.
>
> Wir können also a [mm]\ne[/mm] 0 annehmen.
>
> Setze [mm]f_n(x)= \wurzel[3]{n^2+x^2}[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}[/mm] = [mm]f_n(a)-f_n(0)[/mm]
>
> Nach dem MWS ex. ein [mm]\xi= \xi(n)[/mm] zwischen 0 und a mit:
>
> [mm]\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}[/mm] = [mm]f_n(a)-f_n(0)= f_n'(\xi)*a[/mm]
>
> Nun überzeuge Dich davon, dass [mm]f_n'(\xi) \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
Da die Ableitung nachher offensichtlicher ist,
wähle ich lieber [mm] x\in [0,a^{2}] [/mm] für [mm] f_{n}(x)=\wurzel[3]{n^{2}+x}-\wurzel[3]{n^{2}}
[/mm]
Es gilt:(Ableitung folgt sofort durch Kettenregel)
[mm] f_{n}'(\xi)=\bruch{1}{3(n^{2}+\xi)^{\bruch{2}{3}}}<\bruch{1}{3n^{\bruch{4}{3}}}<\bruch{1}{n}
[/mm]
und da [mm] \bruch{1}{n}\to [/mm] 0 ,auch [mm] f_{n}'(\xi)\to [/mm] 0
und daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3]{n^{2}+a^{2}}-\wurzel[3]{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}a*f_{n}'(\xi)=a*0=0
[/mm]
Alles klar,
danke für den Hinweis Fred,
Gruß diddy
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