Mengen und deren Teilmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 18.11.2012 | | Autor: | Ideas |
| Aufgabe | Gegeben sind 2 Mengen A = { 3,4,{5,6}} und B = {5,6}
Ist B Teilmenge von A und/oder ist B Element von A ? |
Mein Gedanke dazu
B ist offensichtlich Element von A
Jedoch bin ich mir unsicher ob B auch Teilmenge von A ist.
Wenn ich es aufschreibe steht da ja:
{5,6} Teilmenge von { 3,4,{5,6}}
Jedoch kommt 5 und 6 nicht in A vor sondern nur {5,6} als Element.
Ist mein Gedanke korrekt ?
In dem Fall würde ich nämlich sagen, das diese Aussage falsch ist.
Für mich müsste es richtig heißen:
{{5,6}} ist Teilmenge von { 3,4,{5,6}}
Auch wenn die Frage vielleicht banal erscheint geht es mir hier grade nur um den richtigen Gedanken.
Ich bin ein wenig verwirrt und drehe mich bei dieser einfachen Frage im Kreis aufgrund von formellen Schreibweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sind 2 Mengen A = { 3,4,{5,6}} und B = {5,6}
> Ist B Teilmenge von A und/oder ist B Element von A ?
> Mein Gedanke dazu
>
> B ist offensichtlich Element von A
richtig.
> Jedoch bin ich mir unsicher ob B auch Teilmenge von A
> ist.
Na, dann müßte jedes Element aus [mm] $B\,$ [/mm] auch Element von [mm] $A\,$ [/mm] sein.
Nun gilt etwa [mm] $5\in B\,.$ [/mm] Gilt denn auch $5 [mm] \in [/mm] A$?
> Wenn ich es aufschreibe steht da ja:
> {5,6} Teilmenge von { 3,4,{5,6}}
> Jedoch kommt 5 und 6 nicht in A vor sondern nur {5,6} als
> Element.
> Ist mein Gedanke korrekt ?
Ja!
> In dem Fall würde ich nämlich sagen, das diese Aussage
> falsch ist.
Genau: Es gilt NICHT $B [mm] \subseteq A\,.$ [/mm] Um das aber ganz klar zum
Ausdruck zu bringen: Man gibt dann ein Element aus [mm] $B\,$ [/mm] an, dass
NICHT in [mm] $A\,$ [/mm] liegt. Siehe oben!
> Für mich müsste es richtig heißen:
> {{5,6}} ist Teilmenge von { 3,4,{5,6}}
Richtig, diese Aussage wäre korrekt, weil [mm] $\{5,6\}=B \in [/mm] A$ gilt.
Ach herrje, jetzt habe ich schon den Rest der Frage beantwortet...
Aber okay: Beweise mir nun dann bitte, dass NICHT $A [mm] \subseteq [/mm] B$
gilt.
edit:Ach Quatsch, das war ja eh Deine erste Feststellung hier...
Und dann berechne auch mal $A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Denn ehrlich gesagt denke
ich, dass Du die Aussage $B [mm] \in [/mm] A$ auch noch selbst herausgefunden
hättest...
> Auch wenn die Frage vielleicht banal erscheint geht es mir
> hier grade nur um den richtigen Gedanken.
> Ich bin ein wenig verwirrt und drehe mich bei dieser
> einfachen Frage im Kreis aufgrund von formellen
> Schreibweisen.
Kein Problem, genau das ist der Sinn bei solchen Aufgaben: Sich genau
klarzumachen, dass es da innerhalb einer Menge nochmal Elemente geben
kann, die ihrerseits Mengen sind (und damit wieder Elemente enthalten).
Sowas kennt man eigentlich auch schon aus der Schule: Auch dort hat
man schonmal Potenzmengen einer Menge hingeschrieben (wenn auch
meist nur für "sehr einfache" - etwa endliche - Mengen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 18.11.2012 | | Autor: | Ideas |
Vielen Dank für deine Antwort.
Sie hat mir glaub ich gut geholfen
berechne auch mal $ A [mm] \cap B\,. [/mm] $
----
Das wäre dann in dem Fall genau das Element was beide gemeinsam haben 5 und 6 sind aber nicht in A enthalten und {5,6} nicht in B.
Also gibt es keine Schnittmenge von A und B ausser die Leere Menge
----
Beweise mir nun dann bitte, dass NICHT $ A [mm] \subseteq [/mm] B $
gilt.
----
5,6 kommt zwar in B vor aber nicht das Element {5,6}.
Somit wäre die Aussage falsch.
Anders Ausgedrückt: 3,4 {5,6} müssten in B enthalten sein und nur dann wäre A Teilmenge
Was mich an dieser Stelle wohl verwirrt hat, ist die Wahrnehmung der Elemente.
In diesem Zusammenhang fällt mir auch noch die Aufgabe zu ein, die mich eben so verwirrte.
Zu Zeigen war das gilt:
A [mm] \subseteq [/mm] B , B [mm] \subseteq [/mm] C dann gilt auch A [mm] \subseteq [/mm] C
Ich hatte das so ähnlich angesetzt mit:
Wenn es ein x gibt für das gilt x [mm] \in [/mm] A dann ist x auch [mm] \in [/mm] B , laut Defintion von Teilmengen.
Somit wäre x [mm] \in [/mm] B und analog zu dem erstem Schritt auch x [mm] \in [/mm] C
Also ließe sich das Ganze auch als A [mm] \subseteq [/mm] C formulieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Erinnerung: [mm] $A=\{3,4,\{5,6\}\}$ [/mm] und [mm] $B=\{5,6\}\,.$
[/mm]
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Sie hat mir glaub ich gut geholfen
>
> berechne auch mal [mm]A \cap B\,.[/mm]
> ----
>
> Das wäre dann in dem Fall genau das Element was
Das wären dann genau die Elemente, die
> beide
> gemeinsam haben 5 und 6 sind aber nicht in A enthalten und
> {5,6} nicht in B.
> Also gibt es keine Schnittmenge von A und B ausser die
> Leere Menge
Du meinst es richtig:
$$A [mm] \cap B=\emptyset$$
[/mm]
[mm] ($\emptyset=\{\}:$ [/mm] leere Menge)
> ----
> Beweise mir nun dann bitte, dass NICHT [mm]A \subseteq B[/mm]
>
> gilt.
> ----
>
> 5,6 kommt zwar in B vor aber nicht das Element {5,6}.
> Somit wäre die Aussage falsch.
> Anders Ausgedrückt: 3,4 {5,6} müssten in B enthalten
> sein und nur dann wäre A Teilmenge
Das ist alles richtig, aber Du machst Dir zu viele Gedanken:
Wäre $A [mm] \subseteq B\,,$ [/mm] so wären alle Elemente von [mm] $A\,$ [/mm] auch Elemente
in [mm] $B\,.$ [/mm] Das hast Du nun durchexerziert...
Die Aussage $A [mm] \not \subseteq [/mm] B$ heißt aber nur: Es gibt ein Element aus
[mm] $A\,,$ [/mm] dass nicht in [mm] $B\,$ [/mm] liegt. Mehr muss man nicht zeigen:
Und es ist $3 [mm] \in A\,,$ [/mm] aber $3 [mm] \notin B\,.$ [/mm] (Du könntest auch etwa sagen:
Es ist [mm] $\{5,6\} \in A\,,$ [/mm] aber [mm] $\{5,6\} \notin B\,.$) [/mm] Mehr muss man da nicht
tun!
> Was mich an dieser Stelle wohl verwirrt hat, ist die
> Wahrnehmung der Elemente.
>
Das zu üben ist Sinn solcher Aufgaben!
>
> In diesem Zusammenhang fällt mir auch noch die Aufgabe zu
> ein, die mich eben so verwirrte.
>
> Zu Zeigen war das gilt:
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B , B [mm]\subseteq[/mm] C dann gilt auch A [mm]\subseteq[/mm]
> C
>
> Ich hatte das so ähnlich angesetzt mit:
> Wenn es ein x gibt für das gilt x [mm]\in[/mm] A dann ist x auch
> [mm]\in[/mm] B , laut Defintion von Teilmengen.
> Somit wäre x [mm]\in[/mm] B und analog zu dem erstem Schritt auch
> x [mm]\in[/mm] C
> Also ließe sich das Ganze auch als A [mm]\subseteq[/mm] C
> formulieren.
Langsam:
Dass $A [mm] \subseteq [/mm] B$ gilt, bedeutet: JEDES $x [mm] \in [/mm] A$ erfüllt auch $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
Und $B [mm] \subseteq [/mm] C$ bedeutet: JEDES $x [mm] \in [/mm] B$ erfüllt auch $x [mm] \in C\,.$
[/mm]
Um nun $A [mm] \subseteq [/mm] C$ zu folgern, muss man dann zeigen, dass JEDES
$x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] C$ erfüllt.
O.B.d.A. sei dazu $A [mm] \not=\emptyset$ [/mm] (sonst ist die Behauptung trivial).
Jetzt nimmt man IRGENDEIN $x [mm] \in [/mm] A$ her und muss zeigen, dass dann
$x [mm] \in [/mm] C$ gilt. Weil das $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, hat man dann gezeigt, dass
für alle $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] C$ gilt, sofern man nichts außer den
Voraussetzungen bzw. sich aus den Voraussetzungen folgernde wahre
Aussagen benutzt hat: Das heißt, würde man nun ein $x' [mm] \in [/mm] A$ danach
hernehmen, so würde man die gleiche Argumentationskette auf $x'$
anwenden können, um dann $x' [mm] \in [/mm] C$ zu erkennen.
Du meinst das oben auch so, aber bei der Ausdrucksweise "wenn es ein
[mm] $x\,$ [/mm] gibt so, dass $x [mm] \in [/mm] A$..." - womit Du sicher einfach nur sagen willst,
dass Du den Fall $A [mm] \not=\emptyset$ [/mm] betrachten willst - würde man dann
den ganzen Beweis missverstehen:
Man würde denken, Du willst
"$A [mm] \subseteq [/mm] B$ und $B [mm] \subseteq [/mm] C$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \subseteq [/mm] C$"
so beweisen, dass Du zeigst, dass es ein $x [mm] \in [/mm] A$ gibt, dass auch $x [mm] \in [/mm] C$
erfüllt.
Da musst Du aufpassen:
Sei o.B.d.A. nun $A [mm] \not=\emptyset\,.$ [/mm] Sei $x [mm] \in [/mm] A$ irgendein Element aus
[mm] $A\,.$ [/mm] Wegen $A [mm] \subseteq B\,$ [/mm] gilt dann $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Wegen $B [mm] \subseteq [/mm] C$ gilt dann $x [mm] \in C\,.$
[/mm]
Weil $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, folgt also für JEDES $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in C\,.$
[/mm]
Also folgt $A [mm] \subseteq C\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 So 18.11.2012 | | Autor: | Ideas |
Danke dir,
ich werde das nun auf mich wirken lassen und das Bett breit liegen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir,
gerne!
> ich werde das nun auf mich wirken lassen und das Bett breit
> liegen :)
Na, ich denke, Du hattest eigentlich schon alles verstanden - aber bei der
Teilmengenaufgabe war Dir vielleicht (noch) nicht klar, dass Du da
kleine unglückliche Formulierungen getroffen hattest.
Gruß,
Marcel
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