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| Aufgabe | | Ermitteln Sie, ob die Funktion f(x,y) = [mm] y^2 [/mm] - [mm] 3x^2y^2+2x^4 [/mm] bei (0,0) ein Extremum im engeren Sinn hat! |
Ich habe den Gradienten ermittelt und festgestellt, dass er grad [mm] f(x,y)=\vektor{8x^3 - 6xy^2 \\ 2y - 6x^2y} [/mm] lautet und damit bei (0,0) gleich 0 ist.
Als nächstes habe ich die Hessematrix aufgestellt und kam auf [mm] H_f [/mm] = [mm] \pmat{ 24x^2 - 6y^2 & -12xy \\ -12xy & 2-6x^2 } [/mm]
[mm] \Rightarrow H_f(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2} [/mm] und ist damit positiv semidefinit. Das bringt mir aber absolut überhaupt nichts oder?
Was kann ich stattdessen unternehmen?
Vielen Dank im Vorraus!
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Hallo derdickeduke,
> Ermitteln Sie, ob die Funktion f(x,y) = [mm]y^2[/mm] - [mm]3x^2y^2+2x^4[/mm]
> bei (0,0) ein Extremum im engeren Sinn hat!
> Ich habe den Gradienten ermittelt und festgestellt, dass
> er grad [mm]f(x,y)=\vektor{8x^3 - 6xy^2 \\ 2y - 6x^2y}[/mm] lautet
> und damit bei (0,0) gleich 0 ist.
> Als nächstes habe ich die Hessematrix aufgestellt und kam
> auf [mm]H_f[/mm] = [mm]\pmat{ 24x^2 - 6y^2 & -12xy \\ -12xy & 2-6x^2 }[/mm]
> [mm]\Rightarrow H_f(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2}[/mm] und ist damit
> positiv semidefinit. Das bringt mir aber absolut überhaupt
> nichts oder?
>
> Was kann ich stattdessen unternehmen?
Versuche [mm]f\left(x,y\right)[/mm] als Summe/Differenz von Quadraten zu schreiben.
> Vielen Dank im Vorraus!
Gruss
MathePower
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Tut mir Leid Ich verstehe nicht, was du meinst
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Hallo derdickeduke,
> Tut mir Leid Ich verstehe nicht, was du meinst
Zunächst ist
[mm]f(x,y) = $ y^2 $ - $ 3x^2y^2+2x^4=2*\left( \ \left(ax^{2}+b*y^{2}\right)^{2}- b^{2}*y^{4} \ \right) + y^{2}, \ a,b \in \IR[/mm]
Fasse nun den noch zu verarztetem Term
[mm]y^{2}-2*b^{2}*y^{4}[/mm]
zu einenm Binom der Art
[mm]\alpha*\left( \ \left(y^{2}+c\right)^{2}- c^{2} \right), \ \alpha, c \in \IR[/mm]
zusammem.
Dann steht somit da:
[mm]f\left(x,y\right)=2*\left(a*x^{2}+b*y^{2}\right)^{2}+\alpha*\left(y^{2}+c\right)^{2}-\alpha*c^{2}[/mm]
Mit Hilfe dieses Ausdrucks kannst Du dann die Art des Extremums bestimmen.
Gruss
MathePower
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Sowas wie die Scheitelform in [mm] \IR \to \IR [/mm] ?
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Hallo derdickeduke,
> Sowas wie die Scheitelform in [mm]\IR \to \IR[/mm] ?
Ja, genau.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 14.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $f(x,y) = [mm] 2x^4+y^2(1-3x^2)$
[/mm]
Ist nun [mm] $0<|x|<\bruch{1}{ \wurzel{3}}$ [/mm] und $y [mm] \not=0$, [/mm] so ist $f(x,y)> 0 =f(0,0)$.
f hat also im Ursprung ein lokales Minimum.
FRED
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