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| Aufgabe | Die Punkte O(0/0), P(u/0), [mm] Q(u/f_{a}(u)) [/mm] und [mm] R(0/f_{a}(u)) [/mm] u>0 sind Eckpunkte eines Rechtecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q so, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal wird.
Funktion: [mm] f_{a}(x)= x*e^{-ax}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ableitungen:
[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * (1-ax)
[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * [mm] (-2a+a^{2}x)
[/mm]
[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * [mm] (3a^{2}-a^{3}x)
[/mm]
Kann mir die BITTE jemand Vorrechnen. Wir haben die in der Klausur gehabt und ich saß dort 1 Stunde an der Aufgabe und nix kam bei raus.........
vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Am hilfreichsten ist fast immer eine Skizze im Vorfeld ...
Wie wird denn der Flächeninhalt eines Rechteckes beschrieben?
[mm] $A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ b*h$
Die Breite wird ja nun genau vorgegeben durch den Abstand vom Nullpunkt zur Stelle $x \ = \ u$ auf der x-Achse: $b \ = \ u-0 \ =\ [mm] \red{u}$
[/mm]
Die Höhe ergibt sich durch den Abstand des Punktes $Q \ [mm] \left( \ u \ | \ f_a(u) \ \right)$ [/mm] zur x-Achse: $h \ = \ [mm] f_a(u)-0 [/mm] \ = \ [mm] \blue{u*e^{-a*u}}$
[/mm]
Setzen wir dies nun in die Flächenformel ein, erhalten wir unsere Zielfunktion:
$A(u) \ = \ [mm] \red{u}*\blue{u*e^{-a*u}} [/mm] \ = \ [mm] u^2*e^{-a*u}$
[/mm]
Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchzuführen.
Gruß
Loddar
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heißt es jetzt bei den Ableitungen f(x) oder f(u) ?
f(?) = [mm] u^2\cdot{}e^{-a\cdot{}u} [/mm]
[mm] e^{-a\cdot{}u} [/mm] + [mm] u^2\cdot -a\cdot e^{-a\cdot{}u} [/mm] = [mm] e^{-a\cdot{}u} \cdot (1+u^2-a)
[/mm]
etwa So?
thx :)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du musst hier mit der 
Produktregel