Matrix A als Produkt A=QR < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Di 12.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Sei A eine reelle m [mm] \times [/mm] n-Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Zeigen sie, dass A als Produkt A=QR dargestellt werden kann, wobei
a) Q eine m [mm] \times [/mm] n-Matrix ist, deren Spalten eine orthonormierte Basis des Spaltenraums sind und
b) R aus [mm] GL(n,\IR) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, dh. [mm] r_{ij}=0 [/mm] für i>j
Kann mir bitte jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Leider weiß ich nicht so recht womit ich anfangen soll.
Vielen Lieben Dank schonmal!
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> Sei A eine reelle m [mm]\times[/mm] n-Matrix mit linear unabhängigen
> Spalten.
Also ist [mm]m\geq n[/mm]
> Zeigen sie, dass A als Produkt A=QR dargestellt
> werden kann, wobei
>
> a) Q eine m [mm]\times[/mm] n-Matrix ist, deren Spalten eine
> orthonormierte Basis des Spaltenraums sind und
> b) R aus [mm]GL(n,\IR)[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, dh.
> [mm]r_{ij}=0[/mm] für i>j
>
> Kann mir bitte jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen?
Da die Spaltenvektoren [mm]a_{\ast,j}[/mm] (wobei [mm]j=1,\ldots, n[/mm]) linear unabhängig sind, sind die von den ersten [mm]k[/mm] Spaltenvektoren aufgespannten Unterräume [mm]U_k := [a_{\ast,1},\ldots,a_{\ast,k}][/mm] von der Dimension [mm]\dim(U_k)=k[/mm] und es ist [mm]U_i \subseteq U_k[/mm] für alle [mm]i\leq k[/mm]. Daher lässt sich also (durch Orthogonalisierung) eine orthonormierte Basis dieser Unterräume [mm]U_k[/mm] finden, deren erste [mm]k[/mm] Vektoren gerade [mm]U_k[/mm] aufspannen.
Diese Basis ist auch eine Basis des Spaltenraumes von [mm]A[/mm], den der ist ja gleich [mm]U_n[/mm]. Seien also die Vektoren dieser orthonormierten Basis des Spaltenraumes die Spalten von [mm]Q[/mm].
Die Aufgabe, die nun die obere Dreiecksmatrix [mm]R[/mm] zu leisten hat, damit [mm]A=QR[/mm] gilt, ist doch nur, den [mm]k[/mm]-ten Spaltenvektor [mm]a_{\ast,k}[/mm] von [mm]A[/mm] als Linearkombination der ersten [mm]k[/mm] Spaltenvektoren von [mm]Q[/mm] darzustellen: dies ist aber, aufgrund unserer Wahl der Matrix [mm]Q[/mm], immer möglich, denn es ist ja [mm]a_{\ast,k}\in U_k[/mm].
> Leider weiß ich nicht so recht womit ich anfangen soll.
"'Begin at the beginning,' the King said gravely, 'and go on till you come to the end: then stop.'"
(Alice in Wonderland: ![[]](/images/popup.gif) http://www.the-office.com/bedtime-story/classics-alice-12.htm)
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