MA(q) Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $(\epsilon_{t})$ $\sim$ [/mm] $ [mm] WN(\sigma^{2})$ [/mm] ein weißes Rauschen mit Varianz [mm] $\sigma^2 [/mm] $. Weiters sind zwei lineare Filter $a(L) = [mm] 1+a_{1}L$ [/mm] und $b(L) = [mm] 1+b_{1}L$ [/mm] gegeben. (L ist der Lag-Operator und [mm] $a_{1},b_{1}$ [/mm] sind zwei reelle Zahlen.
Wir betrachten nun den Prozess [mm] $(y_{t})$, [/mm] der definiert ist durch
$ [mm] (y_{t}) =a(L)b(L)(\epsilon_{t}) [/mm] $
a) Zeige, dass [mm] $(y_{t})$ [/mm] ein MA(2) Prozess ist. Gib dazu eine passende Darstellung der Form
[mm] $(y_{t}) [/mm] = [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}\epsilon_{t-1} [/mm] + [mm] c_{2}\epsilon_{t-2}$ [/mm] an.
b) Berechne Erwartungswert und Autokovarianzfkt. des Prozesses
c) Zeige, dass [mm] $(y_{t})$ [/mm] nur ein weißes Rauschen ist, wenn [mm] $a_{1},b_{1}=0$ [/mm] gilt.
d) Wann erfüllt die obige Darstellung die (strikte) Minimum-Phase Bedingung? |
Hallo,
anbei poste ich meine Ideen zur Lösung - wäre super falls ihr da mal drüberschauen könnt.
ad a)
[mm](y_{t}) = (1+a_{1})(1+b_{1})(\epsilon_{t}) = (1+b_{1}L+a_{1}L+a_{1}b_{1}L)\epsilon_{t} =
\epsilon_{t}+\epsilon_{t-1}(a_{1}+b_{1})+\epsilon_{t-2}a_{1}b_{1} [/mm]
also würden wir [mm] $c_{0} [/mm] = 1, [mm] c_{1} [/mm] = [mm] a_{1}+b_{1} [/mm] , [mm] c_{2} [/mm] = [mm] a_{1}b_{1}$ [/mm] wählen und hätten damit gezeigt, dass wir einen MA(2) Prozess haben.
ad b)
[mm] \mathbb{E}[y_{t}] = c_{0}\mathbb{E}[\epsilon_{t}] + c_{1}\mathbb{E}[\epsilon_{t-1}] +c_{2}\mathbb{E}[\epsilon_{t-2}] = 0 [/mm], da der Erwartungswert unabhängig von t ist.
ad c)
[mm] $\gamma(k)= \sigma^2 \sum_{j=0}^{j-k}c_{j+k}c_{j} [/mm] $ für $ 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] q$
[mm] $\gamma(0) [/mm] = [mm] \sigma^2 (c_{0}^2 [/mm] + [mm] c_{1}^2 [/mm] + [mm] c_{2}^2)$
[/mm]
[mm] $\gamma(1) [/mm] = [mm] \sigma^2(c_{1}c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}c_{2})$
[/mm]
[mm] $\gamma(2) [/mm] = [mm] c^2c_{2}c_{0}$
[/mm]
also:
[mm]\gamma(k) = \begin{cases} \sigma^2 (c_{0}^2 + c_{1}^2 + c_{2}^2), & \mbox{für } k=0 \\ \sigma^2(c_{1}c_{0} + c_{1}c_{2}), & \mbox{für } k=1 \\ c^2c_{2}c_{0} & \mbox{für } k = 2 \\ 0 & \mbox{für }k>2 \end{cases}[/mm]
ad c)
für [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] = 0 $ folgt [mm] $c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] = 0$ und damit
[mm] $(y_{t}) [/mm] = [mm] \epsilon_{t} [/mm] $, und [mm] $\epsilon_{t} \sim WN(\sigma^2) [/mm] $
d) Es soll $y(z) [mm] \neq [/mm] 0$ für $|z| [mm] \le [/mm] 1$
[mm] $1-c_{1}z [/mm] - [mm] c_{2}z^2 [/mm] = 0 $
[mm] $\Rightarrow z_{1,2} \neq \frac{\frac{c1}{c2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\frac{c1}{c2}}{2})^2 + \frac{1}c_{2}}$
[/mm]
Beste Grüße und Dank
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Di 23.09.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Um das Ablaufdatum zu verlängern.
Ich hoffe, dass sich das mal jemand anschauen kann.
Lg und Danke
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Hallo Thomas,
> Es sei [mm](\epsilon_{t})[/mm] [mm]\sim[/mm] [mm]WN(\sigma^{2})[/mm] ein weißes
> Rauschen mit Varianz [mm]\sigma^2 [/mm]. Weiters sind zwei lineare
> Filter [mm]a(L) = 1+a_{1}L[/mm] und [mm]b(L) = 1+b_{1}L[/mm] gegeben. (L ist
> der Lag-Operator und [mm]a_{1},b_{1}[/mm] sind zwei reelle Zahlen.
> Wir betrachten nun den Prozess [mm](y_{t})[/mm], der definiert ist
> durch
> [mm](y_{t}) =a(L)b(L)(\epsilon_{t})[/mm]
> a) Zeige, dass [mm](y_{t})[/mm]
> ein MA(2) Prozess ist. Gib dazu eine passende Darstellung
> der Form
> [mm](y_{t}) = c_{0} + c_{1}\epsilon_{t-1} + c_{2}\epsilon_{t-2}[/mm]
> an.
> b) Berechne Erwartungswert und Autokovarianzfkt. des
> Prozesses
> c) Zeige, dass [mm](y_{t})[/mm] nur ein weißes Rauschen ist, wenn
> [mm]a_{1},b_{1}=0[/mm] gilt.
> d) Wann erfüllt die obige Darstellung die (strikte)
> Minimum-Phase Bedingung?
> Hallo,
>
> anbei poste ich meine Ideen zur Lösung - wäre super falls
> ihr da mal drüberschauen könnt.
>
>
> ad a)
>
> [mm](y_{t}) = (1+a_{1}\red{L})(1+b_{1}\red{L})(\epsilon_{t}) = (1+b_{1}L+a_{1}L+a_{1}b_{1}\red{L^2})\epsilon_{t} =
\epsilon_{t}+\epsilon_{t-1}(a_{1}+b_{1})+\epsilon_{t-2}a_{1}b_{1}[/mm]
>
> also würden wir [mm]c_{0} = 1, c_{1} = a_{1}+b_{1} , c_{2} = a_{1}b_{1}[/mm]
> wählen und hätten damit gezeigt, dass wir einen MA(2)
> Prozess haben.
Das Endergebnis ist richtig, aber oben in deiner Herleitung der Koeffizienten fehlt manchmal der Lag-Operator. Ich habe es rot hinzugefügt.
> ad b)
>
> [mm]\mathbb{E}[y_{t}] = c_{0}\mathbb{E}[\epsilon_{t}] + c_{1}\mathbb{E}[\epsilon_{t-1}] +c_{2}\mathbb{E}[\epsilon_{t-2}] = 0 [/mm],
> da der Erwartungswert unabhängig von t ist.
Ja, weil [mm] $\IE[\varepsilon_t] [/mm] = 0$ für alle $t$.
> ad c)
> [mm]\gamma(k)= \sigma^2 \sum_{j=0}^{j-k}c_{j+k}c_{j}[/mm] für [mm]0 \le k \le q[/mm]
>
> [mm]\gamma(0) = \sigma^2 (c_{0}^2 + c_{1}^2 + c_{2}^2)[/mm]
>
> [mm]\gamma(1) = \sigma^2(c_{1}c_{0} + c_{1}c_{2})[/mm]
> [mm]\gamma(2) = \red{c^2}c_{2}c_{0}[/mm]
Alles richtig, bis auf das Rote (Schreibfehler), da sollte [mm] $\sigma^2$ [/mm] stehen.
> also:
>
> [mm]\gamma(k) = \begin{cases} \sigma^2 (c_{0}^2 + c_{1}^2 + c_{2}^2), & \mbox{für } k=0 \\ \sigma^2(c_{1}c_{0} + c_{1}c_{2}), & \mbox{für } k=1 \\ \red{c^2} c_{2}c_{0} & \mbox{für } k = 2 \\ 0 & \mbox{für }k>2 \end{cases}[/mm]
Ja!
> ad c)
>
> für [mm]a_{1} = b_{1} = 0[/mm] folgt [mm]c_{1} = c_{2} = 0[/mm] und damit
> [mm](y_{t}) = \epsilon_{t} [/mm], und [mm]\epsilon_{t} \sim WN(\sigma^2)[/mm]
Ja, aber das ist nicht die Aufgabe.
Du sollst zeigen, dass wenn der Prozess [mm] $y_t$ [/mm] ein weißes Rauschen ist, [mm] $a_1,b_1 [/mm] = 0$ gelten muss. Du hast das umgekehrte gezeigt.
Beginne so: Ist [mm] $y_t$ [/mm] ein weißes Rauschen, so gilt [mm] $\gamma(0) [/mm] = [mm] \sigma^2$, $\gamma(k) [/mm] = 0$ für $|k| [mm] \ge [/mm] 1$. Du hast oben die Autokovarianzfunktion explizit ausgerechnet und kannst daher aus diesen Gleichungen Aussagen für [mm] $a_1,b_1$ [/mm] folgern.
> d) Es soll [mm]y(z) \neq 0[/mm] für [mm]|z| \le 1[/mm]
>
> [mm]1-c_{1}z - c_{2}z^2 = 0[/mm]
Sollte dein Polynom nicht c(z) = 1 + [mm] c_1 [/mm] z + [mm] c_2 z^2 [/mm] lauten? Schließlich ist dein MA-Prozess [mm] $y_t [/mm] = [mm] \varepsilon_{t} [/mm] + [mm] c_1 \varepsilon_{t-1} [/mm] + [mm] c_2 \varepsilon_{t-2}$.
[/mm]
Dessen Nullstellen sind
$1 + [mm] c_1 [/mm] z + [mm] c_2 z^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw z^2 [/mm] + [mm] \frac{c_1}{c_2} [/mm] z + [mm] \frac{1}{c_2} [/mm] = 0 [mm] \gdw z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{c_1}{2c_2} \pm \sqrt{\left(\frac{c_1}{2c_2}\right)^2 - \frac{1}{c_2}}$.
[/mm]
Du musst nun herausfinden, für welche [mm] $a_1,b_1$ [/mm] gilt:
[mm] |z_{1,2}| [/mm] > 1.
(Nullstellen außerhalb des Einheitskreises). Dann ist die strict minimum phase Bedingung erfüllt.
Viele Grüße,
Stefan
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