Lokale Hölderstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:31 Mo 11.06.2007 | | Autor: | martzo |
| Aufgabe | | Eine Funktion $f$ ist lokal hölderstetig zum Exponenten [mm] $\alpha$ [/mm] auf einem Kompaktum $K$. Zeigen Sie, dass Sie global [mm] $\alpha$-hölderstetig [/mm] ist, oder finden Sie ein Gegenbeispiel. |
Hallo!
Ich kann für jeden Punkt [mm] $x\in [/mm] K$ eine Umgebung [mm] $U\subset [/mm] K$ finden, sodass $f$ auf $U$ hölderstetig ist. Aus der so gewonnenen Überdeckung wähle ich endlich viele Mengen aus. Die Idee ist, jetzt einfach das Maximum der Hölderkonstanten zu wählen. Trotzdem kriege ich die Abschätzung nicht hin:
Es seien [mm] $x,y\in [/mm] K$ mit [mm] $x\in U_1$ [/mm] und [mm] $y\in U_2$, [/mm] sodass [mm] $U_1\cap U_2\ne \emptyset$. [/mm] Wähle ein [mm] $z\in U_1\cap U_2$. [/mm] Dann folgt
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] |f(x)-f(z)| + [mm] |f(z)-f(y)|\le C_1|x-z|^{\alpha} [/mm] + [mm] C_2|z-y|^{\alpha} \le [/mm] ...$
Wie komme ich da jetzt zu
$... [mm] \le \max(C_1,C_2)|x-y|^{\alpha}$
[/mm]
?
Wer kann mir helfen? Vielen, vielen Dank.
Martzo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 19.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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