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HI,
Ich stecke mal wieder fest. Die Aufgabe lautet:
Löse folgendes DGL - System
y' = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 }y
[/mm]
Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung habe ich folgende 3 Lambas herausgebkommen:
Lambda = 3 , 1 , -2
Aber wie geht's nun weiter? Das habe ich noch nicht so recht verstanden.
Vielen Dank schon einmal im Voraus
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Hallo wolverine,
> Löse folgendes DGL - System
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> y' = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 }y[/mm]
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> Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung habe ich
> folgende 3 Lambas herausgebkommen:
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> Lambda = 3 , 1 , -2
jetzt werden die Eigenvektoren zu den Lambdas berechnet:
Durch Lösen des Gleichungssystems [mm](A\;-\;\lambda\;I)\;e_{\lambda}\;=\;0[/mm] erhält man den Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Das wird für jeden Eigenwert gemacht.
Die Eigenvektoren werden jetzt zu einer Matrix zusammengebaut:
[mm]C\; = \;\left( {e_{\lambda _{1} } ,\;e_{\lambda _{2} } ,\;e_{\lambda _{3} } } \right)[/mm]
Die Matrix C überführt nun obige Matrix in eine Diagonalmatrix.
Hier hat man also die Transformation [mm]y\; = \;C\;z[/mm] vorgenommen.
Das neue System sieht dann so aus:
[mm]z'\; = \;C^{ - 1} \;A\;C\;z[/mm]
Dann schreibt sich das System so:
[mm]z'\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda _{1} } \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\
0 \hfill & {\lambda _{2} } \hfill & 0 \hfill \\
0 \hfill & 0 \hfill & {\lambda _{3} } \hfill \\
\end{array} } \right)\;z[/mm]
Dies ist ein einfach zu lösendes System.
Die Lösung ist dann folgende:
[mm]z^{T} \; = \;\left( {c_{1} \;e^{\lambda _{1} \;t} ,\;c_{2} \;e^{\lambda _{2} \;t} ,\;c_{3} \;e^{\lambda _{3} \;t} } \right)^{T} [/mm]
Wird der Vektor z noch von links mit der Matrix C multipliziert, so erhält man die Lösungen für y:
[mm]y\left( t \right)\; = \;c_{1} \;e_{\lambda _{1} } \;e^{\lambda _{1} \;t} \; + c_{2} \;e_{\lambda _{2} } \;e^{\lambda _{2} \;t} \; + c_{3} \;e_{\lambda _{3} } \;e^{\lambda _{3} \;t} \;[/mm]
Gruß
MathePower
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