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Hallo,
ich bin mir wieder nicht sicher, ob mein Beweis so stimmt, da die Musterlösung wieder komplett anders vorgeht als ich.
Aufgabe:
Seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper [mm] \IK [/mm] und [mm] \varphi, \Psi \in V^{+}\backslash\{0\} [/mm] zwei Linearformen. Zeigen Sie:
[mm] \varphi, \Psi [/mm] sind linear abhängig [mm] \Rightarrow Kern(\varphi) [/mm] = [mm] Kern(\Psi)
[/mm]
Hinweis: [mm] V^{+} [/mm] bezeichnet den Dualraum von V.
Meine Lösung:
Ich zeige die Gleichung [mm] Kern(\varphi) [/mm] = [mm] Kern(\Psi) [/mm] in zwei Schritten.
(1) [mm] Kern(\varphi) \subset Kern(\Psi) [/mm]
(2) [mm] Kern(\Psi) \subset Kern(\varphi) [/mm]
Daraus folgt dann unmittelbar die Gleichheit.
Sei nun [mm] \varphi, \Psi [/mm] sind linear abhängig. Dies ist genau dann der Fall, falls für alle v [mm] \in [/mm] V Skalare a, b [mm] \in \IK [/mm] existieren, für die gilt, dass diese ungleich Null sind und dass diese die Gleichung a [mm] \varphi(v) [/mm] = b [mm] \Psi(v) [/mm] erfüllen.
(1) Sei nun v [mm] \in Kern(\varphi) \gdw \varphi(v) [/mm] = 0. Da [mm] \varphi, \Phi [/mm] linear abhängig existieren a, b [mm] \in \IK [/mm] sodass a [mm] \varphi(v) [/mm] = b [mm] \Psi(v). [/mm] Die linke Seite der Gleichung ist Null. Das bedeutet, dass die rechte Seite der Gleichung auch Null sein muss. Da b [mm] \not= [/mm] 0 muss [mm] \Psi(v) [/mm] = 0 sein.
(2) Analog zu (1).
Aus (1) und (2) folgt die Gleichheit und damit die Behauptung.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Sa 14.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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