Linearfaktorzerlegung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Di 13.12.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom 2. Ordnung [mm] P(z)=z^{2}-2z+a [/mm] mit [mm] z\in \IC [/mm] und [mm] a\in\IR. [/mm] Bestimmen Sie die Nullstellen von P(z). Für welche Werte von a besitzt P(z)
a)eine doppelte Nullstelle,
b)nur reele Nullstellen,
c)nur komplexe Nullstellen,
d)sowohl reele als auch komplexe Nulstellen? |
a) bis c) konnte ich relative einfach mit der pq-formel lösen:p=-2 q=a
[mm] a)z_{1,2}=\bruch{-p} {2}\pm\wurzel{(\bruch{-p} {2})^2-q}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
d.h. a=1 für doppelte Nullstelle [mm] (z_{1,2}=1)
[/mm]
[mm] b)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
hier habe ich a=0 gewählt, um 2 reele unterschiedliche Nullstellen zu bekommen.(2 und 0)
[mm] c)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
hier habe ich a=2
so das ich 1+i und 1-i als komplexe nullstellen herausbekomme.
bei d) bekomme ich nun meine Probleme. Da wir ein Polynom 2. Ordnung haben, kann ich mir nicht vorstellen, wie ich auf reele und komplex Nullstellen kommen soll, da wir maximal 2 Nullstellen bekommen können. Sobald man aber eine komplexe Nullstelle hat, hat man als 2. lösung das komplex konjugierte der 1. Nullstelle als zweite Nullstelle.
Könnt ihr mir für d) einen Tip geben.
Gruß Piet
|
|
| |
|
Hallo piet86,
> Gegeben sei das Polynom 2. Ordnung [mm]P(z)=z^{2}-2z+a[/mm] mit [mm]z\in \IC[/mm]
> und [mm]a\in\IR.[/mm] Bestimmen Sie die Nullstellen von P(z). Für
> welche Werte von a besitzt P(z)
>
> a)eine doppelte Nullstelle,
> b)nur reele Nullstellen,
> c)nur komplexe Nullstellen,
> d)sowohl reele als auch komplexe Nulstellen?
> a) bis c) konnte ich relative einfach mit der pq-formel
> lösen:p=-2 q=a
>
> [mm]a)z_{1,2}=\bruch{-p} {2}\pm\wurzel{(\bruch{-p} {2})^2-q}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
>
> d.h. a=1 für doppelte Nullstelle [mm](z_{1,2}=1)[/mm]
>
> [mm]b)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
> hier habe ich a=0 gewählt, um 2 reele unterschiedliche
> Nullstellen zu bekommen.(2 und 0)
>
> [mm]c)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
> hier habe ich a=2
> so das ich 1+i und 1-i als komplexe nullstellen
> herausbekomme.
>
b) und c) kannst Du noch genauer spezifizieren.
> bei d) bekomme ich nun meine Probleme. Da wir ein Polynom
> 2. Ordnung haben, kann ich mir nicht vorstellen, wie ich
> auf reele und komplex Nullstellen kommen soll, da wir
> maximal 2 Nullstellen bekommen können. Sobald man aber
> eine komplexe Nullstelle hat, hat man als 2. lösung das
> komplex konjugierte der 1. Nullstelle als zweite
> Nullstelle.
>
Im Fall von reellen Koeffizienten, die hier vorliegen,
ist das mit den Fällen a)-c) abgedeckt.
> Könnt ihr mir für d) einen Tip geben.
>
> Gruß Piet
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Di 13.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo piet86,
>
>
> > Gegeben sei das Polynom 2. Ordnung [mm]P(z)=z^{2}-2z+a[/mm] mit [mm]z\in \IC[/mm]
> > und [mm]a\in\IR.[/mm] Bestimmen Sie die Nullstellen von P(z). Für
> > welche Werte von a besitzt P(z)
> >
> > a)eine doppelte Nullstelle,
> > b)nur reele Nullstellen,
> > c)nur komplexe Nullstellen,
> > d)sowohl reele als auch komplexe Nulstellen?
> > a) bis c) konnte ich relative einfach mit der pq-formel
> > lösen:p=-2 q=a
> >
> > [mm]a)z_{1,2}=\bruch{-p} {2}\pm\wurzel{(\bruch{-p} {2})^2-q}[/mm]
>
> >
> > [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
> >
> > d.h. a=1 für doppelte Nullstelle [mm](z_{1,2}=1)[/mm]
> >
> > [mm]b)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
> > hier habe ich a=0 gewählt, um 2 reele unterschiedliche
> > Nullstellen zu bekommen.(2 und 0)
> >
> > [mm]c)z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}[/mm]
> > hier habe ich a=2
> > so das ich 1+i und 1-i als komplexe nullstellen
> > herausbekomme.
> >
>
>
> b) und c) kannst Du noch genauer spezifizieren.
Etwas schärfer formuliert: du MUSST das spezifizieren.
Es reicht nicht die Angabe eines Beispiels. Du musst für a jeweils den kompletten (zur jeweiligen Teilaufgabe gehörenden) Bereich für die Werte von a nennen.
Gruß Abakus
>
>
> > bei d) bekomme ich nun meine Probleme. Da wir ein Polynom
> > 2. Ordnung haben, kann ich mir nicht vorstellen, wie ich
> > auf reele und komplex Nullstellen kommen soll, da wir
> > maximal 2 Nullstellen bekommen können. Sobald man aber
> > eine komplexe Nullstelle hat, hat man als 2. lösung das
> > komplex konjugierte der 1. Nullstelle als zweite
> > Nullstelle.
> >
>
>
> Im Fall von reellen Koeffizienten, die hier vorliegen,
> ist das mit den Fällen a)-c) abgedeckt.
>
>
> > Könnt ihr mir für d) einen Tip geben.
> >
> > Gruß Piet
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 13.12.2011 | | Autor: | piet86 |
Wenn [mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a} [/mm] ist und ich a noch näher spezifizieren muss, dann muss ich ein größeren Bereich angeben, in dem sich a befindet.
für b) sage ich einfach, das a<1
[mm] z_{1,2}=1\pm \wurzel{1-a}
[/mm]
und c) [mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
für a>1
du sagst, dass im Fall von reellen Koeffizienten, schon alles
mit den Fällen a) bis c) abgedeckt ist.
Schreibe ich dann einfach für [mm] \forall [/mm] a habe ich sowohl reelle als auch komplexe Nullstellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 13.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, bei d schreibst du, dass das nicht müglich ist, die Behündung hast du schon gesagt.
gruss leduart
|
|
|
|
