Lineare Hülle und Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 15.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Es ist [mm] \langle \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} \rangle [/mm] eine Basis von [mm] \IR^2? [/mm] |
Hallo,
ist die lineare Hülle auch immer eine Basis eines Vektorraums? Die lineare Hülle enthält doch alle Vielfachen der darin enthaltenen Vektoren, oder? Dann ist die lineare Hülle ein Erzeugendensystem, richtig? Aber doch kein minimales, oder sehe ich das falsch? Also ist die Behauptung falsch.
Danke für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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> Es ist [mm]\langle \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} \rangle[/mm] eine
> Basis von [mm]\IR^2?[/mm]
> Hallo,
>
> ist die lineare Hülle auch immer eine Basis eines
> Vektorraums?
Hallo,
nein.
Die lineare Hülle von [mm] \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}, [/mm] also [mm]\langle \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} \rangle[/mm] , ist die menge, die alle Linearkombinationen der beiden Vektoren enthält, also die Menge, die von den beiden erzeugt wird. Da sind ganz viele Vektoren drin - nämlich der komplette [mm] \IR^2.
[/mm]
Daher bilden die beiden Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^2, [/mm] und weil sie auch linear unabhängig sind, sind sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des [mm] \IR^2, [/mm] also eine Basis.
Aber keinesfalls ist das komplette Erzeugnis eine Basis!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 15.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Aber keinesfalls ist das komplette Erzeugnis eine Basis!
ok, dann hatte ich doch nicht falsch gedacht, da bin ich froh, das war wohl eine Fangfrage...
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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